Fonction de fonction

thadrien · 17-01-2012 18:27:09

Bonjour à tous,

Voici un problème mathématique que je trouve sympa :

Résoudre l'équation [tex]f(f(x)) = x[/tex], avec [tex]f(x) = x^2 + x + 1[/tex].

Tiré, de mémoire, du numéro spécial de Science et Vie junior sur les équations du second degré.

Have a lot of fun !
Hadrien

jpp · 17-01-2012 19:16:52

salut.

si j'ai bien compris le problème [tex]x^4 + 2x^3 + 4x^2 + 2x + 3 = 0[/tex] donne 4 racines complexes

[tex]x_1 = -1 + i\sqrt2[/tex]
[tex]x_2 = -1 - i\sqrt2[/tex]
[tex] x_3 = + i[/tex]
[tex] x_4 = - i[/tex]

à plus.

Dernière modification par jpp (17-01-2012 19:32:56)

thadrien · 17-01-2012 22:39:09

Salut,

C'est exactement cela ! Plus qu'à expliquer ta méthode.

A+

Roro · 17-01-2012 23:12:35

Bonsoir,

J'aurais bien une idée de la méthode : pour obtenir les racines d'un polynôme de degré 4, il vaut mieux en connaître quelques unes (j'oublie les formules tortueuses donnant explicitement ces racines). Et dans le cas présent, on en connaît au moins 2 (i et -i). Il reste ensuite à trouver les deux autres qui doivent être racines d'un polynôme de degré 2, donc ce n'est pas trop difficile !

Mais si on n'a pas vu les "racines évidentes", ou par exemple si le polynôme f était le suivant : [tex]f(x) = x^2-3x+5[/tex] on pourrait tout aussi bien résoudre l'équation [tex]f(f(x))=x[/tex].

Il suffit en effet de remarquer que si [tex]f(x)=x[/tex] alors ce [tex]x[/tex] vérifie aussi [tex]f(f(x))=x[/tex]. Autrement dit, les "racines évidentes" de mon polynôme de degré 4 : [tex]f(f(x))-x[/tex] seront celles du polynôme (de degrè 2) [tex]f(x)-x[/tex].

Je ne sais pas si c'est très clair, mais je poste cette réponse car je me suis demandé si on pouvait trouver ce type d'astuce pour résoudre par exemple [tex]f(f(f(x))) = x[/tex] où [tex]f[/tex] est un polynôme de degré 2 donné...

Bonne nuit,
Roro.

P.S. Je n'ai pas vraiment cherché de réponse à ma dernière question, il est possible qu'elle soit "triviale" !

thadrien · 17-01-2012 23:37:33

Salut,

Je résume en plus clair ce que tu as dit : utiliser les racines de f(x) - x comme racines évidentes de f(f(x)) - x afin de simplifier la recherche de racines de ce dernier polynôme par divisions euclidiennes. Effectivement, ça fonctionne, et même très bien !

Je posterai la méthode originale un peu plus tard. En tout cas, je suis content que mon post suscite de l’intérêt !

Bonne soirée,
Hadrien

amatheur · 18-01-2012 00:31:55

salut
très belle remarque Roro, la prochaine étape est de définir le "sous-groupes" des polynômes de degrés 4 qui peuvent être résolus de cette manière.. ça mérite un peu de réflexion!
A+

Dernière modification par amatheur (18-01-2012 01:25:32)

amatheur · 18-01-2012 01:24:42

RE
je réalise qu'un tel polynôme de quatrième degrés doit s’écrie de la manière suivante: [tex]p\left(x\right)={a}^{3}{x}^{4}+2{a}^{2}b{x}^{3}+\left(2{a}^{2}c+a{b}^{2}+ab\right){x}^{2}+\left(2abc+{b}^{2}-1\right){x}+c\left(ac+b+1\right)[/tex]
a,b et c étant les coefficients du trinôme "accessoire".
mon dieu que c'est affreux! heureusement que c'est rare.

Dernière modification par amatheur (19-01-2012 00:23:30)

thadrien · 18-01-2012 23:48:56

Salut,

C'est pas si affreux que cela... Si on a un polynôme de degré 4 qui peut se résoudre de cette manière, on arrive très facilement, par identifications successives, à trouver tous les coefficients :

- Identification du coefficient de [tex]x^4[/tex] -> coefficient a.

- Identification du coefficient de [tex]x^3[/tex] et coefficient a -> coefficient b

- Identification du coefficient de [tex]x[/tex] et coefficients a et b -> coefficient c

Ensuite, on vérifie les coefficients de [tex]x^2[/tex] et le terme constant.

Je posterai la méthode que j'avais en tête ce weekend. En tout cas, vraiment, ce sujet aura été constructif !

jpp · 22-01-2012 10:08:22

salut.

effectivement , le polynome f[f(x)]-x doit avoir 2 de ses 4 racines identiques a celles du polynome f(x)-x

en effet , si on reprend l'exemple de roro , si f(x) = x² - 3x + 5--> f(x)-x = x²- 4x + 5

ses 2 racines sont [tex]\begin{cases}x_1&=2+i\\x_2&=2-i\end{cases}[/tex]

le polynome f[ f(x) ] - x devient : [tex]x^4 - 6x^3 +16x^2 - 22x + 15 = 0[/tex]

en effectuant sa division par [tex]x^2 - 4x + 5[/tex] on obtient le polynome du second degré:[tex]x^2 - 2x + 3[/tex] dont les 2 racines se calculent aisément.

[tex]\begin{cases}x_3&=1+\sqrt2.i\\x_4&=1-\sqrt2.i\end{cases}[/tex] qui s'avèrent etre les 2 racines manquantes du polynome de degré 4 .

[tex]x^4 - 6x^3 +16x^2 - 22x + 15 [/tex] ¦ [tex]x^2 - 4x + 5[/tex]
- ¦ -------------------------------
[tex]x^4 - 4x^3 + 5x^2[/tex] ¦ [tex]x^2 - 2x + 3[/tex]
--------------------------
[tex]-2x^3 + 11x^2 - 22x[/tex]
-
[tex]-2x^3 + 8x^2 - 10x[/tex]
-----------------------------
[tex]3x^2 - 12x + 15[/tex]
-
[tex]3x^2 - 12x + 15[/tex]
------------------

0

a plus.

Dernière modification par jpp (22-01-2012 11:19:33)

thadrien · 28-01-2012 23:15:08

Salut,

@jpp : vraiment bien ta solution ! Il aurait fallu la proposer à science et vie junior à l'époque. C'est hélas un peu tard : le numéro en question a plus de 10 ans. Depuis, le niveau de science et vie junior a hélas bien baissé. :-(

Bref, je poste maintenant la solution originale :

On se sert de la symétrie du problème : on pose [tex]y = f(x)[/tex]. Alors, l'équation de départ devient :

[tex]y = f(x)[/tex]
[tex]x = f(y)[/tex]

On substitue [tex]f(x)[/tex] par son expression complète :

[tex]y = x^2 + x + 1[/tex]
[tex]x = y^2 + y + 1[/tex]

On soustrait membre à membre :

[tex]y = x^2 + x + 1[/tex]
[tex]x - y = x^2 - y^2 + x - y[/tex]

On factorise par [tex]x - y[/tex] :

[tex]y = x^2 + x + 1[/tex]
[tex](x - y) = (y - x)(y + x) + (y - x)[/tex]

On regroupe tous les termes de la seconde équation dans le membre de droite et on factorise par [tex](y - x)[/tex] :

[tex]y = x^2 + x + 1[/tex]
[tex](y - x)(x + y + 2) = 0[/tex]

On distingue alors deux cas :

Cas numéro 1 : [tex]x - y = 0[/tex]. Alors [tex]y = x[/tex] et donc [tex]x = x^2 + x + 1[/tex] puis [tex]x^2 + 1 = 0[/tex]

Solutions : [tex]\pm i[/tex].

Cas numéro 2 : [tex]x + y + 2= 0[/tex]. Alors [tex]y = - 2 - x[/tex] et donc [tex]- 2 - x = x^2 + x + 1[/tex] puis [tex]x^2 + 2 x + 3 = 0[/tex].

Solutions : [tex]-1 \pm i \sqrt{2}[/tex].

Conclusion : les solutions de l'équation [tex]f(f(x)) = x[/tex] avec [tex]f(x) = x^2 + x + 1[/tex] sont [tex]\pm i[/tex] et [tex]-1 \pm i \sqrt{2}[/tex].

Dans le problème original, les solutions étaient réelles toutes les quatre, de mémoire, mais je ne me souviens plus du trinôme alors employé.

Have a lot of fun !

Dernière modification par thadrien (29-01-2012 12:56:44)

khawla · 29-01-2012 10:03:47

argch(x)=argsh(2-x)

jpp · 29-01-2012 10:37:19

salut à tous.

@thadrien ,

tu écris : [tex]y = x^2 + x + 1[/tex]

[tex]x = y^2 + y + 1[/tex] jusque là d'accord. mais si tu retranches membre à membre , tu dois avoir:

[tex]x - y = y^2 - x^2 + y - x[/tex] . si bien qu'après factorisation par [tex](y - x)[/tex] , celà donne:

[tex](y - x).(y + x) + 2.(y - x) = 0 \; \Rightarrow (y - x).(y + x + 2) = 0[/tex]

et là , 2 cas :
1) [tex](y - x) = 0 -->x^2+1 = 0 \Rightarrow \begin{cases}x_1&=-i\\x_2&=i\end{cases}[/tex]

2) [tex]y + x + 2 = 0 --> x^2 + x + 1 + x + 2 = 0 --> x^2 + 2x + 3 = 0[/tex]

et les 2 autres racines sont: [tex]\begin{cases}x_3&=-1 -i.\sqrt2\\x_4&=-1+i.\sqrt2\end{cases}[/tex]

à plus.

freddy · 29-01-2012 11:44:31

jpp a écrit :

salut.
si j'ai bien compris le problème [tex]x^4 + 2x^3 + 4x^2 + 2x + 3 = 0[/tex] donne 4 racines complexes
[tex]x_1 = -1 + i\sqrt2[/tex]
[tex]x_2 = -1 - i\sqrt2[/tex]
[tex] x_3 = + i[/tex]
[tex] x_4 = - i[/tex]
à plus.

Exact !

thadrien · 29-01-2012 12:57:12

@jpp et freddy : au temps pour moi. Je viens de corriger mon post précédent.

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