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abdoullah

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Rolle généralisé

Bonsoir SVP j'ai une question :
Comme le titre l'indique je veux démontrer le théorème Rolle gébéralisé mais avec la méthode de "définition de limite"
car j'ai vu les autres méthodes :"f injective" et "utilisation de tan"
Alors SVP ma question est sur la méthoded avec la définition de limie :
"Soit un réel donné et h une application continue sur [a,+oo[et derivable sur ]a,+oo[ t.q : [tex]\lim_{x \to +\infty} h(x)=h(a)[/tex]
(*) M.q : ([tex] \exists c \in ]a,+oo[/tex]): h'(c)=0  "
C'est ma question alors j'ai essayé de procéder comme suit :
*j'ai ecris la déf. de la limite "[tex]\lim_{x \to +\infty} h(x)=h(a)[/tex]"
qui est : [tex](\forall e>0) (\exists B>0) (\forall x \in [a,+oo[):[/tex] x>B => |h(x)-h(a)|<e
* après j'ai distingué 2 cas :
-Si f est constante alors pour tout c appartenant à ]a,+oo[ h'(c)=0
-Si ce n'est pas le cas alors : [tex](\exists b>a):[/tex] h(b)>h(a)  (il y 'a aussi l'autre cas mais on se contente de celui là)
et je pense qu'on doit utiliser cette dernière hypothèse dans :
[tex](\forall e>0) (\exists B>0) (\forall x \in [a,+oo[):[/tex] x>B => f(a)-e<h(x)<f(a)+e
là je ne sais pas quoi faire .
Merci de bien vouloir m'expliquer que devrai-je faire.
Merci pour vos réponses.

amatheur

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Re : Rolle généralisé

salut
je trouve que c'est exo intéressant, j'ai utilisé la définition de la limite à droite au voisinage de a, et j'ai obtenu un encadrement similaire de h(x), je t'informerai sur ma progression,.
A+

Dernière modification par amatheur (16-01-2012 23:47:45)

thadrien

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Re : Rolle généralisé

Bonsoir SVP j'ai une question :
Comme le titre l'indique je veux démontrer le théorème Rolle gébéralisé mais avec la méthode de "définition de limite"
car j'ai vu les autres méthodes :"f injective" et "utilisation de tan"
Alors SVP ma question est sur la méthoded avec la définition de limie :
"Soit un réel donné et h une application continue sur [a,+oo[et derivable sur ]a,+oo[ t.q : [tex]\lim_{x \to +\infty} h(x)=h(a)[/tex]
(*) M.q : ([tex] \exists c \in ]a,+oo[/tex]): h'(c)=0  "
C'est ma question alors j'ai essayé de procéder comme suit :
*j'ai ecris la déf. de la limite "[tex]\lim_{x \to +\infty} h(x)=h(a)[/tex]"
qui est : [tex](\forall e>0) (\exists B>0) (\forall x \in [a,+oo[):[/tex] x>B => |h(x)-h(a)|<e
* après j'ai distingué 2 cas :
-Si f est constante alors pour tout c appartenant à ]a,+oo[ h'(c)=0
-Si ce n'est pas le cas alors : [tex](\exists b>a):[/tex] h(b)>h(a)  (il y 'a aussi l'autre cas mais on se contente de celui là)
et je pense qu'on doit utiliser cette dernière hypothèse dans :
[tex](\forall e>0) (\exists B>0) (\forall x \in [a,+oo[):[/tex] x>B => f(a)-e<h(x)<f(a)+e
là je ne sais pas quoi faire .
Merci de bien vouloir m'expliquer que devrai-je faire.
Merci pour vos réponses.

Salut,

C'est chaud, en effet !

Quelques indications pour te mettre sur la voie :

1/ Une propriété utile dit que deux réels a et b sont égaux si et seulement si : [tex]\forall \epsilon > 0), |a - b| < \epsilon[/tex]. Dans le cas où f n'est pas constante, cela veut dire qu'il existe [tex]\alpha[/tex] différent de a tel que [tex]f(\alpha) \neq f(a)[/tex] et donc tel que [tex]\exists \epsilon > 0), |f(\alpha) - f(a)| \geq \epsilon[/tex]

2/ Utilises [tex]\frac{\epsilon}{2}[/tex] dans la définition de la limite : [tex]\exists B>0, \forall x \in [a,+oo[,x \geq B => f(a) - \frac{\epsilon}{2} < h(x) < f(a) + \frac{\epsilon}{2}[/tex]. N.B : J'ai utilisé une définition de la limite légèrement différente mais strictement équivalente pour plus de facilité par la suite.

3/ On remarque que [tex]\alpha < B[/tex].

4/ D'après le théorème de Weierstrass, f est bornée et atteint ses bornes sur [a,B]. Grâce à 2/ et à 3/ (il faut détailler, mais il est 3H du matin, donc je te laisse bosser un peu), au moins une de ses bornes est atteinte en un point de l'intervalle ]a,B[.

La suite de la démonstration est identique à celle du théorème de Rolle "normal".

Have a lot of fun !

Fred

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Re : Rolle généralisé

Re-

  C'est si chaud que cela??? Moi, c'est vraiment le genre d'exercices que j'adore.
J'en ai rédigé une correction à cette adresse : http://www.bibmath.net/exercices/index. … oi=analyse
Consulte la feuille consacrée à la dérivée, l'exo 16.
Remarquez que c'est plus facile si on utilise déjà le théorème de Rolle sur un segment.

Fred.

abdoullah

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Re : Rolle généralisé

Bonsoir SVP dans le corrigé de l'exercice 16 tu théorème de ROLLE à l'infini http://www.bibmath.net/exercices/bde/an … veecor.pdf je voudrais que vous m'expliquiez qque chose SVP dans cette ligne(lignes 3 et 4 si vous regardez le lien en haut):
"Pour " [tex]\epsilon[/tex]= f(c)/2, il existe A >= c tel que, pour x >= A, |f(x)| < [tex]\epsilon[/tex]". Ainsi,
on a f(A)<(f(c))/2<f(c)"
svp comment on a pu encadrer le f(c)/2 comme cela car j'arrive pas à voir cmment ca a été fait et Merci pour vos réponses.

Fred

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Re : Rolle généralisé

Re,

  Bien, on a
[tex]f(A)\leq |f(A)|\leq \varepsilon=f(c)/2[/tex] d'une part, et d'autre part, on a
[tex]f(x)\leq f(c)/2[/tex] car [tex]f(c)\geq 0[/tex]

Fais un dessin!

Fred.

youness

Invité

Re : Rolle généralisé

j ai utiliser le theoreme des accroissement finie puis le raisonnement par l absurde .
en effet, il existe un réel c de ]a,x[ tel que h(x)-h(a)=(x-a)h'(c) .suppque quelque soit c >a , h'(c) non nul .donc h(x) tend vers l infinie quand x tend vers l infinie ce qui n'est pas vrai d après l énoncée .