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amatheur

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Equation fonctionnelle

SALUT
je désir avoir quelque idées pour l'exo suivant:
Déterminer les fonctions f : [tex]\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}[/tex]  tq:
[tex]f\left(x-f\left(y\right)\right)=f\left(f\left(y\right)\right)+xf\left(y\right)+f\left(x\right)-1[/tex]
[tex]\forall \,x,y\in \mathbb{R}[/tex]

Roro

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Re : Equation fonctionnelle

Bonsoir Amatheur,

Au hasard, si f est une solution régulière alors je dérive la relation par rapport à x puis par rapport à y.
Pour y tel que [tex]f'(y)\neq 0[/tex] tu dois avoir deux expressions différentes de [tex]f'(x-f(y))[/tex].
Tu dois pouvoir en déduire que [tex]f'(x)+x[/tex] ne dépend pas de x ?

Roro.

Dernière modification par Roro (06-01-2012 23:30:58)

amatheur

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Re : Equation fonctionnelle

salut
merci pour ta réponse, je n'avais pas essayé de dériver l'expression, parce que la dérivabilité de f n'est pas certaine..
mais bon, on peut toujours la supposer pour essayer d'y voire plus claire!

et effectivement, après une double dérivation, et une déduction! on obtient une fonction f de la forme:  [tex]f\left(x\right)=-\frac{{x}^{2}}{2}+\,kx+f\left(0\right)\,\,avec\,k\in \mathbb{R}[/tex]

j'avais obtenue une expression similaire en posant  [tex]f\left(y\right)=x[/tex] ; mais là aussi je ne peux faire cette substitution que si  [tex]x\in f\left[-\infty ,+\infty \right][/tex]  ou si  [tex]f\left[-\infty ,+\infty \right]=\mathbb{R}[/tex] ; chose que je n'arrive pas à prouver " et qui n'est pas supporter par l'expression de f(x)"!!

Dernière modification par amatheur (07-01-2012 02:45:57)