Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Cracky

Membre

Inscription : 12-05-2011

Messages : 14

Ensemble et bijection

Bonjour a tous.

J'ai besoin d'aide pour ces exercices, je voudrais surtout des explications vu que c'est pour un autre partiel de math ^^

Considerons l'application f:[tex]\mathbb{R}[/tex]->[tex]\mathbb{R}[/tex]; x->e^x+e^-x

1) Calculer f(x) en fonction de f(-x)
2) Déterminer f^-1({2}) ( on pourra poser X=e^x )
3) Determiner en fonction de y dans [tex]\mathbb{R}[/tex] le nombre d'antécédents de y par f
4) f est elle injective ? bijective ? surjective ??

Pour la question 1 soit j'ai pas compris soit y a rien a faire f(x)=f(-x)

Question 2 et 3 je vois pas trop ...

Quand a la 4 j'imagine que elle n'est pas injective vu que f(x)=f(-x), vu qu'on est dans f:[tex]\mathbb{R}[/tex]->[tex]\mathbb{R}[/tex] ça doit être surjective ? je vois pas de cas ou il n'y aurait pas d'antecedent. Donc pas bijective.

Autre exercice qui doit être je pense très simple mais je comprend pas trop ...

Soit {a,b,c} un ensemble a trois élement et soit f : {a,b,c} -> {1,2,3} l'applicaton définie par f(a) = f(b) = 3 et f(c)=2

1) Déterminer f({a,b}),  f({b,c}),  f({b}) et f({a,b,c})
2) f ^-1({1}), f ^-1({2}),   f ^-1({2,3}) et f ^-1({1,2,3})

Bon pour cet exercice, j'imagine qu'il est assez simple quand on sait ce qu'il faut faire mais je ne vois pas du tout.

Merci d'avance :)

Dernière modification par Cracky (04-01-2012 16:39:58)

freddy

Membre chevronné

Lieu : Paris

Inscription : 27-03-2009

Messages : 7 457

Re : Ensemble et bijection

Bonjour a tous.

J'ai besoin d'aide pour ces exercices, je voudrais surtout des explications vu que c'est pour un autre partiel de math ^^

Considérons l'application f:[tex]\mathbb{R}[/tex]->[tex]\mathbb{R}[/tex]; x->e^x+e^-x

1) Calculer f(x) en fonction de f(-x)
2) Déterminer f^-1(2) ( on pourra poser X=e^x )
3) Déterminer en fonction de y dans [tex]\mathbb{R}[/tex] le nombre d'antécédents de y par f
4) f est elle injective ? bijective ? surjective ??

Pour la question 1 soit j'ai pas compris soit y a rien à faire f(x)=f(-x)

Il suffit de remarquer que f(x)=f(-x) ce qui veut dire que la fonction est paire, symétrique par rapport à l'axe des ordonnées

Question 2 et 3 je vois pas trop ...

on t'amène vers la bonne réponse à la question 4.

Soit [tex]X=e^x[/tex] tel que [tex]2 = X+\frac{1}{X}[/tex]. Donc X vérifie :  [tex]X^2-2X+1=(X-1)^2=0[/tex] ce qui indique une racine double[tex] X=1[/tex] soit [tex]x=0[/tex].

Quant à la 4 j'imagine que elle n'est pas injective vu que f(x)=f(-x), vu qu'on est dans f:[tex]\mathbb{R}[/tex]->[tex]\mathbb{R}[/tex] ça doit être surjective ? je vois pas de cas ou il n'y aurait pas d'antécédent. Donc pas bijective.

oui

Autre exercice qui doit être je pense très simple mais je comprends pas trop ...

Soit {a,b,c} un ensemble a trois éléments et soit f : {a,b,c} -> {1,2,3} l'application définie par f(a) = f(b) = 3 et f(c)=2

1) Déterminer f({a,b}),  f({b,c}),  f({b}) et f({a,b,c})
2) f ^-1({1}), f ^-1({2}),   f ^-1({2,3}) et f ^-1({1,2,3})

Bon pour cet exercice, j'imagine qu'il est assez simple quand on sait ce qu'il faut faire mais je ne vois pas du tout.

Merci d'avance :)

Tu dois arriver à "voir" que {1} n'a pas d'antécédent !

Cracky

Membre

Inscription : 12-05-2011

Messages : 14

Re : Ensemble et bijection

Ok pour la question 2 j'avais fait ça mais j'avais fait une erreur d'addition niveau CP et je m’étonnai de ne pas trouver 1 :)

Par contre pour la 3) Determiner en fonction de y dans R le nombre d'antécédents de y par f. Je ne vois toujours pas.

Quand a l'exercice 2 je ne comprend pas l'application en faite ...

edit : A non en faite l'exercice 2 est vraiment extrêmement simple j'ai trouvé un exemple pareil et y'a pas grand chose a comprendre en faite  ...

merci a toi en tout cas ^^

Dernière modification par Cracky (05-01-2012 01:39:31)

freddy

Membre chevronné

Lieu : Paris

Inscription : 27-03-2009

Messages : 7 457

Re : Ensemble et bijection

Salut,

pour le 3), tu dois distinguer 3 cas.

[tex]y < 2[/tex] => pas d'antécédent, car l'ensemble image de [tex] \mathbb{R}[/tex] par f est [tex] [2, +\infty[[/tex]

pour [tex]y=2[/tex], un seul antécédent : [tex]x=0[/tex];

pour [tex]y > 2[/tex], deux antécédents :[tex] x[/tex] et [tex]-x[/tex].

Donc f de [tex] \mathbb{R}[/tex] dans [tex] \mathbb{R}[/tex]  est ni injective, ni surjective.

Reprends les définitions le cas échéant, c'est le but intrinsèque de cet exo (que tu les comprennes).

Suggestion : cherche dans la bibm@th la définition du cosinus hyperbolique ...

Dernière modification par freddy (05-01-2012 05:23:43)