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Crackerzz

Invité

PGCD et PPCM de 3 nombres

Bonsoir et tout d’abords bonne année !

J'aimerai beaucoup avoir la methodes pour calculer ce type de pgcd.

Je sais que pour calculer pgcd(x,y,z) il faut faire pgcd(pgcd(x,y),z) mais la en l’occurrence c'est surtout la forme des nombres qui m’embêtes, je sais résoudre pour un polynome ou pour deux grandes puissances avec les congruences mais la je ne vois pas !!

J'ai déja la solution, ce qui m'interesse c'est la methode pour y arriver s.v.p :)

pgcd(2^13*3^12*5^4 , 2^3*3^5*5^10,  2^7*3^2*5^40)

Même question pour le ppcm.

Solution normalement pour le pgcd 2^3*3^2*5^4, comment on arrive la je ne sais pas ^^

Désolé l'insertion de code latex n'a pas fonctionné !

Merci d'avance :)

yoshi

Modo Ferox

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Messages : 17 401

Re : PGCD et PPCM de 3 nombres

Bonsoir,

Désolé l'insertion de code latex n'a pas fonctionné !

Bof, bof, bof....
As-tu Java installé sur ta machine ? Indispensable pour utiliser l'Editeur d'équations..
Lequel éditeur d'équations n'est qu'une interface faite pour faciliter l'utilisation LaTeX mais pas absolument nécessaire...
La preuve :
[tex]pgcd(2^{13}\times 3^{12}\times 5^4 , 2^3\times 3^5\times 5^{10},  2^7\times 3^2\times 5^{40})[/tex]
comme indiqué ici : Code LateX
Si tu as suivi ce tuto, as-tu encadré tes formules avec les baises tex et /tex entre crochets ?

Bon...
Le PPCM de 2 ou plusieurs nombres est le produit de tous les facteurs premiers différents, chacun étant affecté du plus grand exposant.
Le PGCD de 2 ou plusieurs nombres est le produit de tous les facteurs premiers communs, chacun étant affecté du plus petit exposant.

Exemple
[tex]2^8\times 3^{12}\times 7^2[/tex]
[tex]2^3\times 3^4 \times 5^5\times 11^1[/tex]
[tex]2^7 \times 3^7\times 5^2\times 7^4[/tex]
Les facteurs premiers différents sont 2, 3, 5, 7 et 11
On commence donc par écrire le produit [tex]2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 11[/tex]
Le plus grand exposant possible pour 2 est 8,
Le plus grand exposant possible pour 3 est 12,
Le plus grand exposant possible pour 5 est 5,
Le plus grand exposant possible pour 7 est 4,
Le plus grand exposant possible pour 7 est 1.
On a donc [tex]PPCM = 2^8 \times 3^{12} \times 5^5 \times 7^4 \times 11^1[/tex]

Les facteurs premiers communs sont 2 et 3
Le plus petit exposant possible pour 2 est 3,
Le plus petit exposant possible pour 3 est 4.
On a donc : [tex] PGCD = 2^3 \times 3^4[/tex]

Dans ton cas, que je recherche tous les facteurs premiers différents ou seulement les facteurs premiers communs aux 3 nombres, j'obtiens la même liste 2, 3 et 5.
Les plus grands exposants pour chacun sont respectivement : 13, 12 et 40.
D'où [tex]PPCM = 2^{12}\times 3^{13}\times 5^{40}[/tex]

Les plus petits exposants pour chacun sont respectivement : 3, 2 et 4.
D'où [tex]PPCM = 2^3 \times 3^2 \times 5^4[/tex]

Pense à ce qu'est un multiple (ou un diviseur) commun à plusieurs nombres au niveau facteurs premiers et tu verras que les règles énoncées supra sont parfaitement explicables...
Il est facile également alors de justifier cette égalité  :
a et b étant deux entiers non nuls, PGCD(a,b) * PPCM(a,b) = a * b....

@+

Crackerzz

Invité

Re : PGCD et PPCM de 3 nombres

Merci pour ton explication très clair qui me rend les choses très simple :)

Quand aux balises c'est lorsque je cliquais sur '"inserer" après avoir rentré tout mon pgcd qu'il ne ce passait rien je ne sais pas trop pourquoi ;)

Golgup

Membre actif

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Re : PGCD et PPCM de 3 nombres

bien l'bonjour,

lorsque je cliquais sur '"inserer" après avoir rentré tout mon pgcd qu'il ne ce passait rien je ne sais pas trop pourquoi ;)

Si tu es encore là, essaie donc d'user de l’éditeur dans une nouvelle fenêtre consacrée à un autre sujet (en écrivant l’équation seule)

Ça devrait marcher...

Dernière modification par Golgup (01-01-2012 22:20:20)

Crackerzz

Invité

Re : PGCD et PPCM de 3 nombres

[tex]{2}^{3}\times {5}^{10}[/tex]

Ah oui cette fois ça marche c'est bizarre tout a l'heure ça n'inserait pas :) Je m'etais quand même permis de poster car de simple puissance restait lisible sans Latex.

Merci de l'aide en tout cas, c'est limite niveau college quand on a l'explications mais je n'avais trouvé aucun exemple sur internet de pgcd de cette sorte, que des pgcd normaux ou de polynome.

yoshi

Modo Ferox

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Messages : 17 401

Re : PGCD et PPCM de 3 nombres

RE,

Oui, personnellement, j'ai appris ces règles lorsque j'étais élève de 5e (il y a longtemps !), je les ai enseignées également en 5e, puis les programmes changeant, on les découvre maintenant en 2nde seulement...

Quant à l'éditeur d'équations, on peut, je le répète, très bien s'en passer : moi je ne l'utilise pas, freddy non plus et d'autres encore...
Tes ennuis ne pouvaient provenir que d'une fausse manip de ta part... Ça arrive.
En outre, grâce à la barre d'outils présente au dessus de la fenêtre d'écriture des messages, on peut déjà faire des présentations basiques sans LateX, par exemple  : 2³ x 5¹⁰, AB² = (x_B-x_A)²+(y_B-y_A)²...

Cela dit le plus important reste que tu aies pu trouver réponse à tes questions ;-)

@+

Crackerzz

Invité

Re : PGCD et PPCM de 3 nombres

Oulah bah maintenant on voit ça en L1 math ( l’arithmétique en général ) ^^ quoi que les terminales S spé maths ont déjà du voir ça !

Oui mon java avait du faire des siennes.

Bon aller je retourne faire les exos sur les fonctions continues de bibmath, malheureusement c'est une autre tasse de thé que le pgcd :p

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : PGCD et PPCM de 3 nombres

Oulah bah maintenant on voit ça en L1 math ( l’arithmétique en général ) ^^ quoi que les terminales S spé maths ont déjà du voir ça !

Là où je bosse, ca va se faire en L3 à partir de l'an prochain!!!

Fred.