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abdoullah

Invité

égalité de 2 ensembles de points

Bonsoir SVP j'ai une question :
*Soit "H" l'ensemble des points dont les coordonnées vérifient :
       x²+y²=z²+2
*Et soit D_t la famille de droites définie par :
|[tex]x-zcos(t)=\sqrt{2}sin(t)[/tex]
|[tex]y-zsin(t)=-\sqrt{2}cos(t)[/tex]
La question c'est qu'on me demande de prouver l'égalité D_t = H
*Pour D_t inclu dans H je l'ai faite
Mais ma question sur l'autre inclusion : H inclu dans D_t
Merci d'avance pour vos réponses.

freddy

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Re : égalité de 2 ensembles de points

Bonsoir SVP j'ai une question :
*Soit "H" l'ensemble des points dont les coordonnées vérifient :
      [tex] x^2+y^2=z^2+2[/tex]
*Et soit D_t la famille de droites définie par :
|[tex]x-zcos(t)=\sqrt{2}sin(t)[/tex]
|[tex]y-zsin(t)=-\sqrt{2}cos(t)[/tex]
La question c'est qu'on me demande de prouver l'égalité D_t = H
*Pour D_t inclu dans H je l'ai faite
Mais ma question sur l'autre inclusion : H inclu dans D_t
Merci d'avance pour vos réponses.

Salut et bonne année,

ça a l'air simple :
[tex]x^2=(z\cos t+\sqrt{2}\sin t)^2=z^2 cos^2 t+2z\sqrt{2}\cos t sin t +2\sin^2 t[/tex]
[tex]y^2=(z\sin t-\sqrt{2}\cos t)^2=z^2 sin^2(t)-2z\sqrt{2}\cos t sin t+2\cos^2 t[/tex]

Tu sommes et tu obtiens :  [tex] x^2+y^2=z^2+2[/tex]

jpp

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Re : égalité de 2 ensembles de points

salut à tous , bonne santé et mathes toute l'année.

         en conséquence , on peut conclure que la courbe d'équation [tex]x^2 + y^2 = z^2 + 2[/tex] est une quadrique

doublement règlée appelée hyperboloide de révolution  à une nappe.

                                                                               à plus.

abdoullah

Invité

Re : égalité de 2 ensembles de points

Salut Jpp et Freddy merci pour vos réponses
Mais j'ai besoin de l'autre inclusion c-a-d l'autre implication qui est :
x²+y²=z²+2 => ([tex]\exists t \in R[/tex]):  x-zcos(t)=[tex]\sqrt{2}sin(t)[/tex] et y-zsin(t)=-[tex]\sqrt{2}cos(t)[/tex]
Merci pour vos réponses.

amatheur

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Re : égalité de 2 ensembles de points

salut tous le monde
bonne année, et puisse les mathes prospérer sur ce site et partout dans le monde!
je crois comprendre ou es ce que tu bloque abdoullah; remarque que freddy procède par équivalence entre les expressions, alors ça va dans les deux sens!

abdoullah

Invité

Re : égalité de 2 ensembles de points

Salut
Euh Dsl mais je ne pense pas que Freddy a résonné par équivalence car je pense que l'inplication :
x²+y²=z²+2 => ( ∃t∈R ):  x-zcos(t)= √(2)*sin(t) et y-zsin(t)=- √(2)*cos(t)
n'est pas si évidente que ça.
Veuillez me répondre et merci encore pour vos réponses.

freddy

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Re : égalité de 2 ensembles de points

Re,

Fred t'a déjà donné une indication, donc je pense que tu as tout en main pour faire ce que tu veux. Retrouve l'équation paramétrique de ta droite dans l'espace ...

totomm

Membre

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Re : égalité de 2 ensembles de points

Bonjour,

La démonstration de la réciproque demandée par abdoullah est parfaitement légitime.

Supposons que le point M de coordonnées (X, Y, Z) soit sur l'hyperboloïde de révolution H : [tex]X^²+Y^²=Z^²+2[/tex].

Par une rotation autour de l'axe oz on peut ramener le point M en P de coordonnées (0, Y', Z) sans perdre en généralité, avec [tex]Y^{'²}=Z^²+2[/tex].
Définissons alors un paramètre t tel que [tex] Z=-\sqrt{2}tan(t)[/tex]
On en déduit [tex] Y^{'²}=2 tan^²(t) +2\ \  soit\ Y^'=- \frac{\sqrt2}{cos(t)}[/tex]
(On choisit le signe - pour égalité dans les équations finales)

La droite Dt passe par le point de coordonnés [tex] (\sqrt2sin(t),- \sqrt2cos(t), 0 )[/tex]
Et a pour paramètres directeurs[tex] (cos(t), sin(t), 1)[/tex]

On vérifie que le point P est bien sur la droite Dt en vérifiant :
[tex]\frac{0-\sqrt{2}sin(t)}{cos(t)}=\frac{Y^'+\sqrt{2}cos(t)}{sin(t)}=\frac{Z}{1}[/tex] CQFD.

Cordialement

abdoullah

Invité

Re : égalité de 2 ensembles de points

Merci beaucoup totomm.