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alain01

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Géométrie dans l'espace.

Bonjour à tous.
OABC est un tétraèdre trirectangle en O (les angles AOB,AOC,BOC sont droits) tel que OA=OB=OC=a.I est le projeté orthogonal de  C sur (AB) et H le projeté orthogonal de O sur (CI).D est un point tel que [tex]\vec{OH}=\vec{DO}[/tex].L'espace est muni du repère orthonormal [tex](O;\frac{1}{2}\vec{OA};\frac{1}{2}\vec{OB};\frac{1}{2}\vec{OC})[/tex].
1°)calculer les coordonnées de H.
2°)quelle est la nature de ABCD.
3°)S est le centre de la sphère intérieure au tétraèdre ABCD.
a)montrer que S est sur (OH).
b)calculer les coordonnées de S.

Voilà ce que j'ai réussi à faire:
1°)On montre d'abord que (OH) est orthogonale au plan (ABC).
(AB) est perpendiculaire à (CI)(par hypothèse) et (OC) car (OC)est ortogonale au plan (ABC) donc à toute droite de ce plan.Il s'ensuit qu'(AB) orthogonale aux deux droites (CI) et (OC) l'est au plan (OCI) donc à (OH) contenue dans ce plan.Comme (OH) est perpendiculaire à (CI) contenue dans (ABC) on peut affirmer que (OH) est orthogonale au plan (ABC) donc à (BC).Comme (BC) (memes raisons)est orthogonale à (OC) on en deduit que (BC) est orthogonale à (OCH) donc (BC) est orthogonale à (AH).
On a donc dans le triangle ABC,H orthocentre et comme ABC(facile à montrer) est équilatéral ,H est le centre de gravité du triangle ABC et donc ses coordonnées sont ([tex]\frac{a}{3},\frac{a}{3},\frac{a}{3}[/tex]).

2°)les coordonnées de D sont faciles à déterminer (-a/3;-a/3;-a/3);j'ai calculé les longueurs AD²=AB²=AC²=BC²=
2a² donc ABCD est un tétraèdre régulier.

3°)(DH) est un axe de symétrie de ABCD car D,H et O sont équidistants des sommets A,B,C,D.S ne peut qu'appartenir à cet axe.
b)je n'y suis pas arrivé.
J'ai déterminé les équations des 4 plans :
(ABC):x+y+z-a=0.
(ADC):x-5y+z-a=0.
(DBC):-5x+y+z-a=0.
(ADB):x+y-5z-a=0.J'ai calculé les distances de S aux plans mais j'ai débouché sur des solutions contradictoires.
Merci mille fois de m'apporter votre aide.

alain01

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Re : Géométrie dans l'espace.

Pardon,ma connexion étant mauvaise,j'ai fait vite et n'ai pas relu avant de valider.Il fallait lire au 1er paragraphe du 1°:
(OC) est orthogonale au plan (OBC) et
(BC) est orthogonale à (OA) et (OH)  donc au plan (OAH) donc à (AH).

totomm

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Re : Géométrie dans l'espace.

Bonjour, et bon Noël à tous,

N'oubliez pas les dénominateurs en égalant la distance de S aux plans (ABC) et (ADC) par exemple. L'un est racine de 3 et l'autre racine de 1+25+1. Si S a pour coordonnées (s,s,s), les numérateurs sont  |3s-a| et  |-3s-a|
Peut-être le milieu de OH fera bien l'affaire ?
Voir dans le plan de symétrie DIC n'est pas si évident ! mais la sphère y est tangente à DI et CI

Cordialement

alain01

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Re : Géométrie dans l'espace.

Bonjour Totomm et Très bonnes fetes de fin d'année à vous TOUS.
Merci pour vos indications.
En résolvant l'équation j'ai trouvé deux valeurs de s:[tex]\frac{2a}{3}[/tex] et [tex]\frac{a}{6}[/tex].Je pense que c'est [tex]\frac{2a}{3}[/tex] (centre de gravité du tétraèdre) mais je ne sais comment réfuter la 2eme valeur.

totomm

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Re : Géométrie dans l'espace.

Bonjour,

S étant entre D et H, ses coordonnées ne peuvent être supérieures à celles de H. c'est donc bien [tex]\frac{a}{6}[/tex] qui convient.
pour interpréter les valeurs absolues, il convient d'utiliser  [tex]\frac{-a}{3}<s<\frac{a}{3}[/tex] qui traduit que S est entre D et H

donc 3s-a < 0 et -3s-a < 0

Juste en attendant enfants et petits enfants, car tout est prêt : Cordialement

Dernière modification par totomm (25-12-2011 12:18:11)

alain01

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Re : Géométrie dans l'espace.

Merci pour tout.