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abdoullah

Invité

borne sup

Salut SVP j'ai une question sur un exercice :
"Soit x[tex]\in ]a,b][/tex] avec a et b deux reels et a<b"
J'ai besoin dans mon exercice du fait que :
Sup (b-x)=b-a
]a,b]
est ce que je peux dire ce resultat directement sans démonstration ? si oui je veux une explication svp.
et si non j'ai essayé d'utiliser la caractérisation de la borne Sup
Soit[tex]\epsilon >0[/tex] (je note "b-a=t")
on a t-[tex]\epsilon[/tex]=Sup (b-x)-[tex]\epsilon[/tex]<Sup (b-x)-[tex]\epsilon[/tex]=b-(a+[tex]\epsilon[/tex])
                     ]a,b]             [a,b]
or on peut trouver k>0 tq : [tex]\epsilon[/tex]=[tex]\epsilon[/tex]₀+k
tq a+[tex]\epsilon[/tex]₀[tex]\in ]a,b][/tex]
alors de là on peut obtenir : t-[tex]\epsilon[/tex]<b-(a+[tex]\epsilon[/tex]₀)
donc on a trouvé pour tout epsilon un element de ]a,b] qui verifie linegalité de la caracterisation de borne sup
Merci de me dire si cette demonstration est juste ou non et si elle necessaire pour dire legalité voullue.
Merci pr vos reponses.

abdoullah

Invité

Re : borne sup

SVP si queque chose n'est pas claie dans l'énoncé dites le moi svp pour que je puisse vous le reecrire correctement.
Et merci pour encore pour vos réponses.

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : borne sup

Re-

  En fait, moi, je ne comprends rien à ta preuve.... (par exemple, on note "b-a=t", et dans la ligne suivante, tu remplaces par un sup).

Bref, voici comment je procèderai :
D'abord, il est clair que [tex]\sup_{x\in]a,b]}b-x\leq b-a[/tex]

Réciproquement, et là tu as raison, on fixe [tex]\varepsilon>0[/tex] et on doit prouver que
[tex](b-a)-\varepsilon[/tex] n'est pas un majorant de [tex]\{b-x;\ x\in]a,b]\}[/tex]

Pour cela, il suffit de prendre x tel que [tex] a<x<a+\varepsilon[/tex], et de constater que
[tex]b-x>b-a-\varepsilon [/tex]

Fred.