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abdoullah

Invité

dérivée nule

Bonsoir SVP j'ai une question sur un exercice:
"Soit g une fonction définie par g:[a,b]  ->[tex]\mathbb{R}[/tex]" de classe C² et (a<b)
et on a : ([tex]\exists c\in ]a,b[): g(c)=0[/tex]  et ([tex]\forall x\in [a,b]): g(x)\geq 0 [/tex]

Ma question est ce qu'on peut dire de cela que g'(c)=0 car ca se voit un peut .
Si oui veuillez SVP me dire comment je peux le montrer rigoureusement.
merci pour vos réponses.

Golgup

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Re : dérivée nule

Salut,

Je ferai ainsi, (f étant continue sur [a,b])

si f(c)=0 alors il existe [tex]{\epsilon }_{1}[/tex] et [tex]{\epsilon }_{2}[/tex] (>0)  tels que c soit dans I=]c-[tex]{\epsilon }_{1}[/tex] ; c+[tex]{\epsilon }_{2}[/tex][  et f(c-[tex]{\epsilon }_{1}[/tex]) = f(c+[tex]{\epsilon }_{2}[/tex])  ,  ensuite , f étant  dérivable sur ]a,b[ et continue sur [a,b] , elle l'est aussi sur I ouvert et I fermé.  Ensuite tu appliques le théorème de Rolle.

++

Dernière modification par Golgup (10-12-2011 20:58:01)

abdoullah

Invité

Re : dérivée nule

Merci pour la réponse , Je sais qu'on peut trouver un autre element de [tex]\delta \in[/tex]]a,b[ tq g'([tex]\delta[/tex])=0
Mais dans mon exercice j'ai besoin de concerver le meme c
c à d : le c pour le quel j'ai g(c)=0
c'est lui qui doit vérifier le g'(c)=0
Merci de bien vouloir me répondre
et merci pour vos réponses.

Golgup

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Re : dérivée nule

Oui,

Bien sur, ce que je veux dire c'est que ces epsilons verifient [tex]f'\left(x\right)\leq 0\,\forall \,x\in \left[c-{\epsilon }_{1\,};\,c\right][/tex] et [tex]f'\left(x\right)\geq 0\,\forall x\,\in \left[c\,;\,c+{\epsilon }_{2}\right][/tex]

+

Roro

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Re : dérivée nule

Bonsoir abdoullah,

Tu dois aussi pouvoir faire comme cela (ce qui doit être équivalent à ce que dit Golgup) :

Si g est de classe [tex]C^1[/tex] alors pour tout h on a [tex]g(c+h)=g(c) + \int_c^{c+h} g'(t) dt[/tex].
Comme [tex]g(c)= 0[/tex] tu obtiens que pour tout h, [tex]g(c+h)=\int_c^{c+h} g'(t) dt[/tex].
Si [tex]g'(c)<0[/tex] alors (g' étant continue) tu peux trouver un [tex]h>0[/tex] assez petit pour que [tex]g'(t)<0[/tex] sur [tex][c,c+h][/tex] ce qui impliquerait [tex]g(c+h)<0[/tex].
De même, si [tex]g'(c)>0[/tex] alors tu peux trouver un [tex]h<0[/tex] assez petit( en valeur absolue) pour que [tex]g'(t)>0[/tex] sur [tex][c+h,c][/tex] ce qui impliquerait [tex]g(c+h)<0[/tex].

Roro.

abdoullah

Invité

Re : dérivée nule

STP juste 2 petites questions
1) quand ta di que f(c-[tex]\epsilone[/tex]₁)=f(c+[tex]\epsilone[/tex]₂)
est ce que ta utilisé le fait tes au voisinage de c alors le f(c-[tex]\epsilone[/tex]₁)=f(c)=c+[tex]\epsilone[/tex]₂)
2)comment ta déduit que g'<0 et g'>0 sur ]c-[tex]\epsilone[/tex]₁,c[ et ]c,c+[tex]\epsilone[/tex]₂[
merci pour tes réponses golgup.

abdoullah

Invité

Re : dérivée nule

DSL j'ai fait des fotes de frappes dans le msg précédent voila le msg corrigé
STP juste 2 petites questions
1) quand ta di que f(c-[tex]\epsilon[/tex]₁)=f(c+[tex]\epsilon[/tex]₂)
est ce que ta utilisé le fait tes au voisinage de c alors le f(c-[tex]\epsilon[/tex]₁)=f(c)=f(c+[tex]\epsilon[/tex]₂)
2)comment ta déduit que g'<0 et g'>0 sur ]c-[tex]\epsilon[/tex]₁,c[ et ]c,c+[tex]\epsilon[/tex]₂[
merci pour tes réponses golgup.

Golgup

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Re : dérivée nule

re,

1) bien sur que f est definie au voisinage de c

2) f est convexe sur [c-[tex]{\epsilon }_{1}[/tex]  ; c+ [tex]{\epsilon }_{2}[/tex]]

abdoullah

Invité

Re : dérivée nule

Merci golgup et roro.