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#1 08-12-2011 01:32:57
- alain01
- Membre
- Inscription : 23-06-2011
- Messages : 102
Problème de calcul.
Bonjour à tous.
f est une fonction définie sur [tex]\mathbb{R}[/tex] :f(x)=[tex]f(x)=ln(e^{2x}-e^{x}+1)[/tex].
1°)étudier f (limites,variations,graphe).
Je résume ce que j'ai trouvé:
De [tex]]-\infty;-ln2[[/tex] f est décroissante de 0 à [tex]ln\frac{3}{4}[/tex].
En x=-ln2 f admet un minimum [tex]ln\frac{3}{4}[/tex].
De [tex]]-ln2;+\infty[[/tex] f est croissante de [tex]ln\frac{3}{4}[/tex] à [tex]+\infty[/tex].J'ai trouvé qu'en [tex]+\infty[/tex] la courbe de f admet une asymptote oblique.
2°)k est un réel strictement posiif.Déterminer par le calcul puis en utilisant les variations de f l'existence des racines de l'équation [tex]e^{2x}-e^{x}+1-k=0[/tex]......(E).
J'ai fait un changement de variable :
[tex]\begin{cases}e^{x}=X\\X^2 -X+1-k=0\end{cases}[/tex] le discriminant D=4k-3.
Si 0<k<3/4 l'équation n'a pas de racines.
Si k=3/4 on a une racine double.
Si k>3/4 on a 2 racines.
En utilisant les variations de f:
(E) est équivalent à [tex]ln(e^{2x}-e^{x}+1)=lnk[/tex] ..etc.Mon problème vient du fait que je ne trouve pas la meme chose que par le calcul.J'ai meme utilisé l'équivalence ci-dessus sans etre sur qu'une équation en exp est équivalente à une équation en ln (est-ce à cause de la bijection de la fonction ln?).
Merci pour votre aide.
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#3 08-12-2011 10:11:27
- yoshi
- Modo Ferox
- Inscription : 20-11-2005
- Messages : 17 385
Re : Problème de calcul.
Salut,
Ton problème doit être ailleurs, puisque tu pars de a=b tu as tout à fait le droit d'écrire que [tex]\ln(a)=\ln(b)[/tex].
Montre-nous ce que tu as fait à partir de :
[tex]\ln(e^{2x}-e^x+1)=ln(k)[/tex]
@+
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#4 09-12-2011 01:13:03
- alain01
- Membre
- Inscription : 23-06-2011
- Messages : 102
Re : Problème de calcul.
Bonjour Yoshi.
D'abord merci d'avoir répondu.
On a donc bien [tex](E)\Longleftrightarrow{ln(e^{2x}-e^{x}+1)=lnk}[/tex].Une lecture graphique donne:
[tex]{lnk\lt{ln\frac{3}{4}}}\Longleftrightarrow{0\lt{k}\lt{\frac{3}{4}}}[/tex] :aucune solution.
lnk=ln3/4 équivalent à k=3/4 :une racine double.
ln3/4<lnk<0=ln1 équivalent à 3/4<k<1 :deux racines.
[tex]{lnk\geq{0=ln1}}\Longleftrightarrow{k\geq{1}}[/tex]:une solution.
Voilà,cela n'est pas tout à fait conforme à la résolution algébrique de (E).Il y'a une faute je ne sais ou.
Merci de m'aider et d'etre revenu après cette "abscence".
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#5 09-12-2011 09:17:04
- yoshi
- Modo Ferox
- Inscription : 20-11-2005
- Messages : 17 385
Re : Problème de calcul.
Salut,
D'abord je n'évoquerais pas la notion de "résolution graphique"...
[tex](E) \Longleftrightarrow \ln(e^{2x}-e^{x}+1)=\ln(k)[/tex]
1. Je dirais comme toi que [tex]k\; \in\;]0\;;\;+\infty[[/tex]
2. Puisque le minimum de f(x)=3/4 est atteint pour x =-ln(2),
a) la droite y=ln(k) n'a pas d'intersection avec la courbe C_f si ln(k) <3/4
b) la droite y=ln(k) a un point d'intersection avec la courbe C_f si ln(k) = 3/4. Je ne crois pas qu'on puisse évoquer là, la notion de solution double.
3. Résoudre X^2-X+1-k=0 en lieu et place de e^{2x}-e^{x}+1-k=0 demande de soigner le retour/passage réciproque de X à ex...
[tex]e^{2x}-e^{x}+1=k[/tex] --> bien penser à noter que [tex]\lim_{x\mapsto -\infty}e^{2x}-e^{x}+1=1[/tex]
y = 1 est asymptote horizontale à la courbe et courbe en dessous (à prouver).
Donc si k > 1 pas d'intersection de ce côté.
@+
[EDIT]
En fait dans ta résolution n°1 avec chgt de variable, tu devrais même montrer que sur[tex] ]-\infty \;;\;0][/tex] on a [tex]e^{2x}-e^{x}+1\leq 1[/tex] et donc que de 0 à +oo [tex]e^{2x}−e^x+1[/tex] est >=1 et strictement croissante ce qui justifie d'abord 2 intersections puis une seule.
D'autre part :
On a donc bien [tex](E)\Longleftrightarrow{ln(e^{2x}-e^{x}+1)=lnk}[/tex]
Je suis réservé sur l'équivalence : il faut prendre en compte que k ne peut être négatif ou nul ; ou alors pour parler d'équivalence préciser le domaine avant...
Dernière modification par yoshi (09-12-2011 11:57:11)
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