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abdoullah

Invité

système

Bonjour s'il vous plait j'ai une petite question
je travaille sur un exercice qui est le suivant :
"on inroduit une matrice de Gram de taille (3*3)
-on me donne des questions pour démontrer l'identité de lagrange.
après cela on me donne la question suivante :
Q) on supose u , v , w trois vecteurs de R³ linéairement indépendants. Montrer que pour tout (a,b,c) appartenant à R³
le système           | <x,u>=a
                         -|<x,v>=b           d'inconnue x appartenant à R³ adment une unique solution dans R³
                          |<x,w>=c
J'ai  reflechis à deux choses
1) remplacer x et u et v et w par des coordonnées de R3 et obtenir un système de crammer qui a une soluce unique car le determinant va etre differant de 0
2) j'ai trouvé une solution particulière mais je ne sais pas comment démontrer son unicité.
merci de me dire est ce que l'une de ces deux choses est bonne.
et comment proceder avec la question.
Merci pour vos réponses.

Fred

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Re : système

Re-

2) est sûrement la meilleure idée car l'application de R³ dans lui-même qui à
x associe (<x,u>,<x,v>,<x,w>) est linéaire. Comme elle est définie entre deux espaces
de même dimension finie, elle est injective si et seulement si elle est surjective
si et seulement elle est bijective.
Si tu as trouvé une solution particulière, c'est que tu as démontré qu'elle est surjective.

Fred.

abdoullah

Invité

Re : système

Bonsoir stp
je connais une peu d'applications linéaire celui que ta ecris est un endomorphisme je suis d'accord.$
mais pour lequivalence que ta ecris je dois la justifier car on pas encore fais un cours sur les applications linéaires.
comme ta di avec une soluce particulière lapplication est surjective et puis je dois montrer linjectivité .
pour ce la je suis pas aux coordonnées et j'ai obtenu un système de 3 equations du genre (x₁-y₁).u₁ +(x₂-y₂).u₂+(x₃-y₃).u₃=0 et deux autres equations avec v et w
on a (u,v,w) est libre est ce je peux dire de cela que x₁=y₁ et x₂=y₂ et x₃-y₃?
merci pour vos réponses

Fred

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Re : système

Re-

  Oui, parce que les 3 vecteurs forment une famille libre...
et donc le système est inversible.

Fred.

abdoullah

Invité

Re : système

Merci bcp Fred.