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tibo

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Equation de Laplace sur une variété

Salut,

En pleine révision pour un partiel, j'aurais besoin de quelques précisions à ce sujet :

On admet que les solutions faibles trouvées sont aussi fortes.

Exo 1
Soit (M,g) une variété Riemannienne compacte de dimension n>2
[tex]\lambda[/tex]>0
[tex]f \in C^{\infty}(M)[/tex]
Montrer que l'équation [tex]\Delta_g u + \lambda u = f[/tex] admet une unique solution [tex]u \in C^{\infty}(M)[/tex]

Là il suffit de montrer que [tex]\Delta_g + \lambda Id[/tex] est coercif
ie [tex]\exists \mu >0, \forall u \in H_1^2, \mu ||u||_{H_1^2}^2 \le \int_M (|u|^2 + \lambda u^2)dv_g[/tex]
et ensuite un théorème du cours me dit que cette équation admet alors une unique solution.
Mais du coup, cet exercice me parait bien court.
Et je ne connais pas la démonstration du théorème.
Je pense d'ailleurs en avoir besoin pour le second exo

Exo 2
Soit (M,g) une variété Riemannienne compacte de dimension n>2
[tex]h \in C^{\infty}(M)[/tex] tel que [tex]\Delta_g + h[/tex] coercif
[tex]p \in \left] 1, \frac{n+2}{n-2} \right[ [/tex]
[tex]f \in C^{\infty}(M)[/tex] strictement positive
Montrer que l'équation [tex]\Delta_g u + hu = fu^p[/tex] admet une solution [tex]C^{\infty}[/tex] strictement positive.

Mon problème est de montrer l'existence.
Pour le reste, il suffit d'utiliser le principe du maximum et un théorème de régularité dont j'ai la démo.

Merci d'avance

[edit] d'ailleurs je ne vois pourquoi [tex]p \in \left] 1, \frac{n+2}{n-2} \right[ [/tex]
Si c'était pour se placer dans le cas sous-critique il aurait fallu [tex]p \in \left] 1, 2* \right[ [/tex] avec [tex]2* = \frac{2n}{n-2}[/tex]

Dernière modification par tibo (01-12-2011 23:30:41)

Roro

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Re : Equation de Laplace sur une variété

Bonsoir Tibo,

Pour ce qui est de l'exo 1, je pense que le théorème repose essentiellement sur le Théorème de Lax-Milgram (ce qui signifie le théorème de Riez).

Pour l'exo 2, je réfléchis...

Roro.