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marmat

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Convergences d'integrale en fonctions de parametres.

Salut tous,

Mon partiel d'analyse et demain. Je suis malheureusement pessimiste a propos de ce partiel, car en fait je n'y arrive pas a y comprendre cette matiere.
en tout cas je me bloque face un exercice (on a fait un exemple come celui la pour l'integrale de bertrand en classe mais je n'y arrive pas a faire l'exercice tout seul).

Discuter de la convergence de l'integrale sur I en fonctions des paramteres a et b.

[tex]f(x)= ((e^a)^x -1)x^b[/tex] sur [tex]I=]0,+\infty[ [/tex]
et [tex]f(x)=\frac{x^a}{1+x^b}[/tex] sur [tex] I=]0,+\infty[ [/tex]

pour la premiere fonctions. J'ai essaye de diviser le domaine I en 2. de 0 a 1 et de 1 a +infini. comment puisse je discuter en fonction de a et b.

la premiere fonction f(x) devient pour i = ]0,1]:
[tex] f(x)= \int_0^{1}\,x^b(e^a)^x\,dx - \int_0^{1}\,x^b\,dx [/tex]

le premier terme n'est til pas toujours convergent et le second l'est aussi entre ]0,1]?? car limite (x--->0) f(x)=0 non?

il reste a faire pour i=[1,+infini[ mais avant de continuer j'aimerais savoir s'il ya quelque chose de juste dans mon etude.

Merci d'avance.

Dernière modification par marmat (27-11-2011 12:05:43)

Fred

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Re : Convergences d'integrale en fonctions de parametres.

Bonjour Marmat,

  Si tu ne sais pas ce que vaut b, ce n'est pas le cas.
En effet, b peut valoir par exemple -1, et 1/x n'est pas intégrable en 0.

Pour ta fonction, tu as effectivement un problème en 0 et un problème en +oo.
Commençons par le problème en 0. Peux-tu me donner un équivalent de f en 0???

F.

marmat

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Re : Convergences d'integrale en fonctions de parametres.

comment trouver un equivalent de la fonction en 0? n'y a t il pas une infinite d'equivalent de f en 0?

je ne sais pas si c'est juste mais je dirais que f est equivalente [tex]x^b[/tex] au voisinage de 0.

Fred

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Re : Convergences d'integrale en fonctions de parametres.

Ce n'est pas le cas, car [tex]f(x)/x^b[/tex] ne tend pas forcément vers 1 quand x tend vers 0.

Pour obtenir un équivalent, tu dois revenir aux méthodes de base : commencer par faire un DL en 0 de
[tex]e^{ax}=1+ax[/tex]
soit
[tex]e^{ax}-1\sim_0 ax[/tex] (j'ai supposé que a est non-nul)
puis
[tex]f(x)\sim_0 ax^{b+1}[/tex]

Ensuite, tu dois te rapporter à des résultats de ton cours pour savoir si f est intégrable en 0.

Fred.

marmat

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Re : Convergences d'integrale en fonctions de parametres.

merci beaucoup, je viends d'apprendre maintenant comment trouver des fonctions equivalentes.
le developpement limite est la seule methode pour trouver des fonctions equivalentes?

maintenant qu'on a trouve une fonction equivalente a f(x) au voisinage de zero, cette fonction proche de rienman ou pas?

[tex]f(x)(au voisinage de 0)=\int_0^{1}\,ax^{b+1}\,dx[/tex]
s'ecrit donc [tex]f(x)=\int_0^{1}\,\frac{a}{x^{-b-1}}\,dx[/tex]
proche de rienman qui est
[tex]g(x)=\int_0^{1}\,\frac{1}{x^c}\,dx[/tex] qui est convergente pour c<1.
donc pour notre cas -b-1<1; b>-2?

a pose t elle un probleme?

Dernière modification par marmat (28-11-2011 17:37:09)

Fred

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Re : Convergences d'integrale en fonctions de parametres.

merci beaucoup, je viends d'apprendre maintenant comment trouver des fonctions equivalentes.
le developpement limite est la seule methode pour trouver des fonctions equivalentes?

C'est souvent la meilleure...
Pour la suite de la rédaction, il faudrait écrire

[tex]f(x)\sim_0 \frac{a}{x^{-b-1}}[/tex]

Or, [tex]\frac 1{x^c}[/tex] est intégrable au voisinage de 0 si et seulement si c<1, donc dans notre cas....

a ne pose pas de problèmes, sauf si a=0. Mais dans ce cas, on a la fonction nulle, non???

Il y a le problème en +oo maintenant....
ll faut faire un peu différemment, mais tu peux toujours comparer à une intégrale de Riemann
en cherchant la limite de [tex]f(x)/x^c[/tex] au voisinage de +oo.
La réponse va dépendre de la valeur de a.

Fred.

marmat

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Re : Convergences d'integrale en fonctions de parametres.

ok maintenant pour +oo.

mmm je n'ai pas beaucoup compris la procedure :S.

moi j'ai pense de proceder comme pour 0. faire un changement de variable x= 1/t pour pouvoir applique DL  (une question ici le DL est applique just pour 0 ou non?? si non donc le changement de variable est a eliminer) puis trouver une fonction equivalente (j'ai obtenu [tex]a/t^{b+1}[/tex] )...... mmm je ne sais pas ce que je fais :S. je ne trouve pas comment comparer a l'integrale de Riemann (je ne sais qu'une seule c'est celle auparavant mais au voisinage de 0 c<1 et au voisinage de l'infini c>1)

Dernière modification par marmat (28-11-2011 18:50:49)

Fred

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Re : Convergences d'integrale en fonctions de parametres.

Re-

  Oui, le DL ne peut être faux qu'au voisinage de 0, donc le changement de variables pour procéder par équivalent en 0 ne fonctionne pas non plus.
Ici, tu dois séparer deux cas :
1. si a<0, alors [tex]t^2 f(t)\to 0[/tex] en +oo, et donc f est négligeable devant [tex]1/t^2[/tex] au voisinage de +oo.
Comme cette dernière fonction est intégrable, c'est aussi le cas pour f (tout est au voisinage de +oo)

2. si a>0, alors [tex] tf(t)\to+\infty[/tex] en +oo, et donc f est plus grande que 1/t. Comme l'intégrale de cette
dernière fonction diverge, il en est de même pour f.

Fred.

marmat

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Re : Convergences d'integrale en fonctions de parametres.

merci beaucoup pour vos reponses et je suis vraiment desole car je vous emporte avec ces questions la, mais il est important de comprendre au moins comment proceder.

Question peut etre banale mais comment vous avez trouve [tex]t^2f(t)[/tex] et [tex]tf(t)[/tex]? vous les avez pose? si oui en se basant sur quoi, il y a certainment un indice pour les poser non?

P.s: c'est deja nuit la, je me sent vraiment fatigue, je vais aller dormir on continuera notre discusion demain lorsque je reviens de l'universite.

Bonnuit,
et Merci beaucoup pour votre temps.

Dernière modification par marmat (28-11-2011 21:09:27)

Fred

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Re : Convergences d'integrale en fonctions de parametres.

Question peut etre banale mais comment vous avez trouve [tex]t^2f(t)[/tex] et [tex]tf(t)[/tex]? vous les avez pose? si oui en se basant sur quoi, il y a certainment un indice pour les poser non?

J'ai envie de dire qu'il y a juste 3 façons de procéder pour étudier si une fonction est intégrable :
* ou bien on connait une primitive (ou on peut en déterminer une...)
* ou bien on peut faire un DL, et on se ramène à comparer à une fonction connue (souvent, une intégrale de Riemann)
* ou bien on ne peut pas faire de DL (cas par exemple de exponentielle ou de ln au voisinage de l'infini),
et on multiplie alors la fonction par [tex]t^\alpha[/tex]. On discute alors suivant la limite que l'on obtient
(et la valeur de [tex]\alpha[/tex]). Le plus souvent, comme ici, on peut se contenter de prendre [tex]\alpha=2[/tex]
ou [tex]\alpha=1[/tex].

Tu peux aussi jeter un coup d'oeil sur cette page

Fred.

thadrien

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Re : Convergences d'integrale en fonctions de parametres.

Bonjour,

Fred a bien résumé le problème, mais j'aimerai enfoncer le clou sur un point trop souvent négligé :

Les théorèmes de comparaison des intégrales utilisant les équivalents ou les petits et grand O ne fonctionnent que pour les fonctions positives. C'est ici ton cas, mais il importe de le vérifier et de le préciser ! C'est également bien précisé sur le formulaire de la bibmath, mais un peut louper ce point si on lit trop rapidement.

Dans le cas où les fonctions ne sont pas positives, un moyen simple consiste à vérifier la convergence absolue, ce qui permet de se ramener au cas précédent.

A noter également que a ~ b, a = o(b) et a = O(b) impliquent respectivement |a| ~ |b|, |a| = o(|b|) et |a| = O(|b|). Donc on se ramène encore plus facilement au cas précédent.

Enfin, dans le cas de fonctions non positives dont la convergence n'est pas absolue, il faut faire des transformations pour essayer de se ramener à un cas connu. Si les transformations n'aboutissent pas, on peut utiliser les critères de Cauchy et d'Abel, mais ce sont des théorèmes plus spécialisés. (@Fred : je ne sais plus si le critère d'Abel pour les intégrales est au programme des classes prépa.)

Désolé si j'enfonce des portes ouvertes, mais c'est LE point qui a le don d'énerver les profs de maths chaque fois que les élèves l'oublient.

marmat

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Re : Convergences d'integrale en fonctions de parametres.

Fred merci beaucoup pour avoir clarifier ces 3 points, mon cours est manquant, le prof nous a rien donner a l'exception des integrale de Rienman. je vais lire ce lien pour mieux comprendre les methodes d'etude.

et thadrien merci beaucoup pour votre remarque je la prendrai en consideration.

je viends d'aprendre une dizaine de choses nouvelles :D Merci beaucoup. Si seulement je les ai appris avant d'avoir fait mon partiel d'analyse hier ca aurait beaucoup m'aider lol. En tout cas je crois que ca marche maintenant, reste a s'exercer un peu.

Fred

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Re : Convergences d'integrale en fonctions de parametres.

Fred : je ne sais plus si le critère d'Abel pour les intégrales est au programme des classes prépa.)

En tant que tel, ca m'étonnerait... mais oui sur des exemples.

Fred.

marmat

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Re : Convergences d'integrale en fonctions de parametres.

ok

J'ai fait la deuxieme fonction.
[tex]f(x)=\frac{x^a}{1+x^b}[/tex] sur [tex] I=]0,+\infty[ [/tex] .

voila ce que j'ai recu.

au voisinage de 0,:: [tex]\frac{1}{1+x^b}[/tex] est equivalente a 1.

donc la fonction devient [tex]\frac{1}{x^{-a}}[/tex]-----> d'apres Rieman a>-1.

au voisinage de +OO:: [tex]1+x^b[/tex] est equivalente a [tex]x^b[/tex].

donc la fonction devient [tex]\frac{1}{x^{-a+b}}[/tex]-----> d'apres Rieman -a+b>1

en esperant que ca soit vrai.
Si vous pourriez verifer ce que j'ai fait, ca serait geniale.

Merci.

Fred

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Re : Convergences d'integrale en fonctions de parametres.

Je crois que tu commences à comprendre....

Fred.