Forum de mathématiques - Bibm@th.net

samo12

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géométrie

Bonsoir, j'ai du mal à résoudre l'exercice ci-dessous et j'ai besoin de votre aide :) :
Montrer qu'une courbe plane normale de courbure algébrique égale à c (une constante différente de 0 ) est un cercle. merci d'avance :)

Fred

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Re : géométrie

Bonsoir,

  Cela tombe bien, je viens de taper une correction de cet exercice pour la base de données d'exercices (il n'est pas encore en ligne).
Soit (I,f) ton paramétrage normal. Tu sais donc que f'(s) est toujours de module 1, et
donc [tex]f'(s)=e^{i\alpha(s)}[/tex]
Par les formules de Frénet, tu sais que
[tex]\frac{d\alpha}{ds}=c.[/tex]

En intégrant, tu trouves que [tex]\alpha(s)=cs+s_0[/tex], soit
[tex]f'(s)=e^{is_0}e^{ics}[/tex]
Tu intègres encore :
[tex]f(s)=a+\frac{1}{c}e^{is_0}e^{ics}[/tex]

Ceci est un paramétrage du cercle de centre d'affixe a et de rayon 1/|c|.

Fred.