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#1 07-11-2011 23:58:54
- alain01
- Membre
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- Messages : 102
Etude d'une fonction.
Bonjour à tous.
g est une fonction dont C est la courbe représentative dans un repère orthonormé.
g(x)=x²sin(1/x) si x différent de 0.
g(0)=0.
1°)montrer que g est dérivable en 0.
2°)a est un nombre réel strictement positif aussi proche qu'on veut de 0.
Existe-t-il une infinité de nombres (1/kpi) appartenant à [0;a[ avec k appartenant à Z.
Solution.
1°)J'ai facilement montré que g est dérivable en 0 en calculant la limite du rapport [x²sin(1/x)]/x=xsin(1/x) quand
x-->0 en utilisant le théorème des gendarmes.J'ai trouvé g'(0)=0;on en déduit que C admet en 0 une tangente horizontale.
2°)Cette question me pose problème.
Le "aussi proche qu'on veut" m'a fait penser aux langage des limites.J'ai donc supposé qu'il fallait démontrer que
lim[g(x)]=0 quand x---->(1/kpi) en utilisant la définition[g(1/kpi)=0].J'ai donc écrit:
quelque soit a>0 existe-t-il b>0 tel que |x-(1/kpi)|< b====>|x²sin(1/x)|<a.
|x²sin1/x|<a <==>x²|sin1/x|<a<==>x²<a car |sin1/x|<1<==>|x|<V(a).
Là j'arrete car je ne sais plus quoi faire ni quoi penser.
Merci de m'aider.
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#2 08-11-2011 11:16:39
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 348
Re : Etude d'une fonction.
Bonjour,
La question 2 n'a pas de rapport avec g.
Ce que tu doit utiliser simplement, c'est que la suite (1/k pi) converge, par valeurs positives, vers 0, et que tous ses termes sont différents.
Fred.
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#3 10-11-2011 00:11:20
- alain01
- Membre
- Inscription : 23-06-2011
- Messages : 102
Re : Etude d'une fonction.
Bonjour Fred.
Comme vous l'avez indiqué,j'ai considéré la suite Un=1/npi et U1=1/pi.
J'ai étudié sur [1;+oo[ la fonction auxilliaire f(x)=1/xpi et son tableau de variations a donné:
f décroissante sur [1;+oo[ et 0<f(x)<=1/pi.
On en tire (Un) décroissante et bornée donc convergente.De plus comme f est une bijection de [1;+oo[ dans ]0;1/pi]
les valeurs de Un sont toutes différentes.
Est-ce correct?
Merci beaucoup Fred.
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