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#1 15-10-2011 08:24:15
- marmat
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distance, norme (analyse)
Salut,
J’ai a resoudre un exercice d’analyse. A la premiere vue je l’ai cru facile mais quand je suis venu pour appliqer mon cours j’ai trouve des difficultees .
Soit (E,||.||) un espace vectorielle normee et d: de E2sur R+ telle que d(x,y)=||x-y||.(La distance induite par la norme sur E).
Monter que [tex]d’(x,y)=\sqrt(d(x,y))[/tex] et [tex]d’’=\frac{d(x,y)}{1+d(x,y)}[/tex] sont 2 distances sur E.
On pourra utiliser les deux fonctions [tex]f’(x)=\sqrt(x)[/tex] et [tex]f’’(x)=\frac{x}{1+x}.[/tex]
Voila :
Pour demontrer que d est une distance sur E on a demontrer ces 3 conditions :
-D(x,y)=0 equivaux a x=y
-d(x,y)=d(y,x)
-d(x,y)<= d(x,z)+d(z,y)
Comment je pourrais utiliser les fonctions pour demontrer que d’ et d’’ sont 2 distances ?
(je ne trouve pas quoi demontrer :S)
Merci pour votre aide
Dernière modification par marmat (15-10-2011 10:05:06)
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#3 15-10-2011 11:02:20
- marmat
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Re : distance, norme (analyse)
Merci Fred pour votre reponse,
vous voulez dire que les fonctions sont seulement utilisees pour demontrer l'inegalite triangulaire? et que les 2 autres conditions sont realisees directement sur l'expression de d'?
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#4 15-10-2011 11:34:57
- marmat
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Re : distance, norme (analyse)
j'aimerai que vous me corrigez si j'ai quelque chose de faux.
bien voila ma reponse pour d':
- [tex]d'(x,y)=0 ;
\sqrt(d(x,y))=0 ;
\sqrt(||x-y||)=0 ;
||x-y||=0 ;[/tex]
x=y car [tex]d(x,y)=||x-y||[/tex] est deja une distance
-[tex]d'(x,y)=d'(y,x)[/tex] car [tex]||x-y||=||y-x||[/tex] (d(x,y) une distance) donc [tex]\sqrt(||x-y||)=\sqrt(||y-x||)[/tex]
-[tex]x+y <= x+y+2\sqrt(x)\sqrt(y);
x+y<= (\sqrt(x)+\sqrt(y))[/tex]2;
[tex]\sqrt(x+y)<=\sqrt(x)+\sqrt(y);
f'(x+y)<=f'(x)+f'(y)[/tex]
par identification a d'(x,y) on a [tex]d'(x,y)<=d'(x,z)+d'(z,y)[/tex]
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