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tibo

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convergence L2 implique convergence simple?

Bonjour,

Après une longue absence, je reviens faire un tour.
Je vois que les habitués sont toujours là, ça a même l'air plus animé qu'avant...
Le design a changé aussi...

Bref, je suis là car une question est restée en suspens au dernier cours :
Si [tex]U_n \rightarrow U[/tex] dans L², a-t-on [tex]U_n(x) \rightarrow U(x)[/tex] pour tout x dans R ?

J'ai bien quelques idées mais je n'arrive pas au bout du raisonnement:

Soit [tex](U_n)[/tex] suite de L² convergente vers u au sens L²
On en extrait une sous-suite [tex](Un_j)[/tex] telle que
[tex]| Un_{j+1} - Un_j |_2 < \frac{1}{2j}[/tex]

Soit [tex]v(x) = \sum_0^{\infty} ( Un_{j+1} - Un_j )(x) [/tex]
alors [tex]|v|_2 \le  \sum_0^{\infty} | Un_{j+1} - Un_j |_2 \le \sum_0^{\infty} \frac{1}{2j} [/tex]
donc v(x) converge presque partout
donc u(x) converge presque partout

J'ai donc obtenu que la convergence L² implique qu'on peut extraire une suite qui converge simplement presque partout.

Tout d'abord, ce raisonnement est-il juste?
Le prof avait l'air de dire que c'était compliqué et qu'il fallait utiliser la théorie des mesures...

Ensuite, peut-on faire mieux?

Et, peut-on se placer dans Lp à la place de L²? j'ai pas l'impression que ça change beaucoup.

[edit] modif de |v(x)| en |v|

Dernière modification par tibo (12-10-2011 22:08:21)

Fred

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Re : convergence L2 implique convergence simple?

Salut Tibo,

  Je reviens te voir ce soir.
En guise de teasing, va jeter un coup d'oeil ici : http://www.bibmath.net/dico/index.php?a … sante.html

Fred.

tibo

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Re : convergence L2 implique convergence simple?

D'accord, donc si j'ai bien compris, on ne trouvera pas mieux qu'une convergence presque partout.

Fred

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Re : convergence L2 implique convergence simple?

Même pas. La suite qui est mentionnée dans la page que je cite converge vers 0 dans L2, mais elle ne converge ponctuellement nulle part.
Tu ne peux pas faire mieux que le résultat que tu as prouvé dans ton premier message : la converge presque sure pour une sous-suite.

Fred.

tibo

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Re : convergence L2 implique convergence simple?

ok merci bien ^^