Forum de mathématiques - Bibm@th.net

erichof

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thérème de Napoléon

Bonjour,

j'avais un exercice qui était un cas particulier du théorème de Napoléon.
En approfondissant le sujet sur la page suivante :
http://gilles.costantini.pagesperso-ora … poleon.pdf
j'ai quelques questions :
1) l'EQUIVALENCE : \((\overrightarrow{CA}, \overrightarrow{CB}) = (\overrightarrow{DA}, \overrightarrow{DB})\) modulo pi   <=>   A,B,C et D sont cocycliques
a-t-elle son "équivalent" avec les angles géométriques (et non de vecteurs comme ci-dessus) ?

2) l'obtention du point de Torricelli est démontré par de la géométrie classique; existe-t-il une démonstration avec les complexes.

Merci beaucoup,

Cédric

Fred

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Re : thérème de Napoléon

Bonjour,

  Pour ta deuxième question, tu devrais jeter un coup d'oeil sur la deuxième épreuve du capes agricole 2011. Je crois qu'il est question de nombres complexes et de point de Toricelli.

A+
Fred.

yoshi

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Re : thérème de Napoléon

Bonjour à mon tour,

Q1
Pour qu'un quadrilatère convexe ABCD soit inscriptible dans un cercle, il faut et il suffit que ses angles opposés soient supplémentaires...
Et là je cherche la démo : quadrilatère ABCD + angles opposés supplémentaires ==> A, B, C, D cocycliques et je ne la retrouve pas, ni dans ma mémoire (nerosson dirait : Alzheimer !), ni plus grave avec crayon et papier.
Le trou béant...

Dans l'autre sens, pas de pb.
J'ai même cherché sur la toile : néant !

Alors, je cherche encore...

@+

alain01

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Re : thérème de Napoléon

Bonjour Yoshi.
Je voudrais vous exposer une idée dont je ne sais si elle est bonne.
Considérons le quadrilatère convexe ABCD avec [tex]\hat{BAD}+\hat{BCD}=180°[/tex].Tout triangle est inscrit dans
un cercle.ABD est inscrit dans dans un cercle(P).
Supposons que C(dans le demi-plan de frontière (BD)ne contenant pas A) n'appartient pas à (P).Il existe alors un point C' de l'arc (BD) (dans le meme demi-plan que C) tel que A ,B,C',D soient cocycliques donc [tex]\hat{BAD}+
\hat{BC'D}=180°[/tex] mais [tex]\hat{BAD}+\hat{BCD}=180°[/tex].On en conclue que [tex]\hat{BC'D}=\hat{BCD}[/tex] donc le quadrilatère croisé BC'CD est inscrit dans un cercle ce qui est impossible.
C appartient donc à (P).
Je ne sais pas si c'est rigoureux ou bien carrément faux.
Merci de corriger.

yoshi

Modo Ferox

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Re : thérème de Napoléon

Salut,

Lycéen, j'avais pris une habitude dont j'ai été satisfait depuis, celle de considérer mon cerveau comme une entité à part autonome et fantasque avec ses humeurs propres.
Et j'avais constaté que dans certains cas, il valait mieux que je lui soumette le problème, puis que je lui foute la paix et attendre qu'il m'envoie un texto disant : j'ai trouvé, au boulot !

Là, j'avais laissé tombé et ce matin, j'ai repris mon stylo et un papier et j'ai eu la réponse en moins d'une minute.
J'ai maintenant la conviction qu'il n'y a pas de réponse par la voie "classique".

Soit un quadrilatère convexe ABCD quelconque tel que  \(\widehat{BAD}+\widehat{BCD}=\pi\)
Supposons que C n'appartienne pas au cercle circonscrit au triangle ABD.
Soit E l'intersection de (BC) avec le cercle.
Le quadrilatère ABED étant inscrit dans le cercle alors  \(\widehat{BAD}+\widehat{BED}=\pi\)

Donc les angles  \(\widehat{BED}\;et\;\widehat{BCD}\) sont égaux comme ayant le même supplément.
Ces angles étant en position d'angles correspondants alors  (ED) et (CD) devraient être parallèles ce qui est impossible puisqu'ayant un point commun C.
Donc C = E.
Donc C est sur le cercle.
                -----------------------------------------------
Ta démonstration est très voisine de la mienne, il lui manque un ou deux éléments :
1. Préciser au départ que C n'est pas sur le cercle circonscrit au triangle ABD
2. Préciser pourquoi BCC'D ne peuvent être cocycliques, même si c'est sous-enntendu.
Pourquoi "Supposons qu'il existe un point C' tel que..." ? Ce point existe forcément.

Sinon, ça me paraît correct.

N-B : le "grand chapeau" de l'angle, c'est comme son nom l'indique... \widehat :
         \widehat{BAD} --> \( \widehat{BAD}\)

@+

[EDIT]
Alain de l'Ain (?), quel a été le fin mot de nos interrogations sur l'existence d'une erreur d'énoncé dans cette discussion que tu avais intitulée Géométrie dans l'espace : http://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=4778 ?

Dernière modification par yoshi (10-10-2011 11:48:32)

totomm

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Re : thérème de Napoléon

Bonjour,

Pour qu'un quadrilatère convexe ABCD soit inscriptible dans un cercle, il faut et il suffit que ses angles opposés soient supplémentaires...

Une des démonstrations repose sur les propriétés des "arcs capables d'un angle sur un segment"

totomm

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Re : thérème de Napoléon

re,

.....Il existe alors un point C' de l'arc (BD) (dans le meme demi-plan que C) tel que A ,B,C',D soient cocycliques donc \(\widehat{BAD}+\widehat{BC′D}=180°\).........BC'CD est inscrit dans un cercle ce qui est impossible.
....
Je ne sais pas si c'est rigoureux.......

Il existe une infinité de points C' sur l'arc de cercle, donc pourquoi impossible sans autre précision sur C' ?

yoshi

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Re : thérème de Napoléon

Bonjour,

L'auteur de post#3 a pour nom yoshi, celui de post #4 alain01...

Arc capable
Cette expression a éveillé une vague réminiscence en moi.
J'ai donc cherché.
Mon bouquin de lycéen (une relique) 2nde, prgm 1960, dit effectivement à ce sujet :
Le lieu géométrique des points du plan situés d'un même côté d'une droite, d'où l'on voit uhn segment AB de cette droite sous un angle donné \(\alpha\) est un arc de cercle d'extrémités A et B appelé arc capable de l'angle \(\alpha\).
Ce qui rend directe la justification du théorème cité.
Dont acte.
J'avais oublié cette notion : je ne crois pas l'avoir jamais enseignée (en 4e et 3e), ceci explique probablement cela.
Quant à savoir à quelle époque cette notion a disparu des programmes, c'est une autre histoire...
Je vais chercher (sans plus d'espoir...).
2nde : depuis 1993 cela ne figure plus. Et avant ? Sais pas...
1ere : depuis 1998 cela ne figure plus. Et avant ? Sais pas... Je pense depuis l'introduction des angles orientés.
TS : idem.

Je me dois aussi de reconnaître que le théorème cité : Pour qu'un quadrilatère convexe ABCD soit inscriptible dans un cercle, il faut et il suffit que ses angles opposés soient supplémentaires... ne s'enseigne plus non plus quoi que j'aie pu lire ça ou là...
On peut dire que :
1. C'est un peu dommage, cette notion étant bien pratique,
2. Ladite notion a été rendue obsolète (mais pas plus simple) côté enseignement et ferait double emploi par l'introduction des angles orientés...

Elle pourrait toutefois être incluse dans le chapitre de 3e qui traite des angles inscrits et angles au centre : sa place y serait naturelle...
Mais il y a déjà un moment que je ne cherche plus le pourquoi de la présence ou de l'absence d'une notion dans le programme d'un niveau donné.

@+

alain01

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Re : thérème de Napoléon

Merci pour toutes les explications Yoshi et Totomm.

alain01

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Re : thérème de Napoléon

Re-bonjour Yoshi.
Je suis allé voir la discussion"géométrie dans l'espace".Je pense toujours à une erreur d'énoncé.J'ai pris cet exercice dans une "relique" sans couverture.Je préfère y travailler car les problèmes y sont vraiment ardus.