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- Contributions : Récentes | Sans réponse
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#1 04-10-2011 22:35:42
- yahya
- Membre
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- Messages : 8
Polynômes
Bonsoir,
Je me suis planté sur un exercice et je sollicite votre aide.
Voici l'énoncé " Soit n entier > 0 , trouver le reste de la division euclidienne du polynôme P(X) = X^n + nX^(n-1) + X^2 + 1 par Q(X) = (X + 1)^2 ".
Merci d'avance !!!
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#2 05-10-2011 09:44:15
- freddy
- Membre chevronné
- Lieu : Paris
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- Messages : 7 457
Re : Polynômes
Bonsoir,
Je me suis planté sur un exercice et je sollicite votre aide.
Voici l'énoncé " Soit n entier > 0 , trouver le reste de la division euclidienne du polynôme [tex]P(X) = X^n + nX^{n-1} + X^2 + 1[/tex] par [tex]Q(X) = (X + 1)^2[/tex] .
Merci d'avance !!!
je pense connaître la réponse, je dois vérifier.
Dernière modification par freddy (05-10-2011 09:44:28)
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#3 05-10-2011 11:48:29
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 352
Re : Polynômes
Bonjour,
Je te donne la méthode générale sans donner le résultat :
1. On écrit le résultat a priori : [tex]P(X)=Q(X)B(X)+aX+b[/tex]
On sait en effet que le reste est de degré inférieur ou égal à 1.
2. On évalue l'égalité précédente en les racines de Q. Ici, Q n'admet qu'une seule racine, -1, et on a :
[tex]P(-1)=a+b[/tex]
3. On dérive l'égalité précédente, et on évalue à nouveau en -1, car -1 est racine double de Q.
On a donc
[tex]P'(X)=Q'(X)B(X)+Q(X)B'(X)+a[/tex] soit en évaluant en -1 [tex]P'(-1)=a[/tex]
Fred.
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#6 05-10-2011 22:55:24
- yahya
- Membre
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- Messages : 8
Re : Polynômes
Bonsoir,
Merci pour ces directives !!!
J'ai suivi vos conseils, j'ai ensuite poser deux cas et enfin j'ai eu les résultats suivants :
- Cas ou n est pair : a = n^2 - 2n + 2 et b = n^2 - 3n + 5
- Cas ou n est impair : a = - n^2 - 2 et b = - n^2 + n - 3
Que pensez vous de ces résultats ?
Merci et à bientôt !!!
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#9 06-10-2011 14:08:04
- totomm
- Membre
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- Messages : 1 093
Re : Polynômes
re,
On se trompe si facilement qu'il faut toujours se vérifier numériquement, et ne pas se décourager...
voyez pour n pair si a n'aurait pas -2 au lieu de +2 et corrigez alors b
voyez pour n impair s'il n'y a pas un 2n qui manquerait et corrigez alors b
donnez ensuite vos résultats pour n=2 et 3
De temps en temps votre orthographe est bonne : "Qu'en pensez-vous", des fois non
ailleurs il vaudrait mieux : "j'ai ensuite posé". c'est important aussi une bonne orthographe
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