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#1 28-09-2011 09:12:17
- imed
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- Inscription : 02-06-2011
- Messages : 16
somme des carrés
bonjour les amis,
je connais déjà 2 méthode pour démontrer
1²+2²+3²+....+n2 = n(n+1)(2n+1)/6 (voir ci-dessous)
mais, je suis sûr que vous êtes capable de m'aider à en trouver d'autres (objectif: 5 méthode différentes. où sont les Freddy, Yoshi, Fred,...)
1-
On cherche un polynôme Q de degré deg(Q) = deg(P) + 1 tel que :
P(n) = Q(n+1) - Q(n). Pour cela, on développe les membres de l'égalité précédente et on identifie les coefficients. On obtient un système linéaire qu'il suffit ensuite de résoudre.
Ensuite, la somme de P(n) pour n allant de 1 à N se simplifie en Q(N+1)-Q(1). Le résultat en découle immédiatement.
Q(n)= 1/3*n3-1/2*n2+1/6*n
2- récurrence :
n(n+1)(2n+1)/6 + (n+1)² = (n+1)(n+2)(2n+3)/6
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#2 28-09-2011 09:34:58
- yoshi
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- Inscription : 20-11-2005
- Messages : 17 385
Re : somme des carrés
Salut imed,
Je réponds à ton "appel du pied"...
Voilà : http://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=4759
Ici, j'ai donné une démo, et thadrien a signalé la même méthode que toi ensuite.
@+
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#3 28-09-2011 11:27:24
- imed
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- Messages : 16
Re : somme des carrés
Merci Yoshi, (quoique ta demo est proche de la demo n°1). Bon je l'accepte...(3/5, encore 2 demo et je rentre)
J'attends toujours Fred, Freddy et autres celebrité du site.
je suis sûr qu'avec un petit effort il sont capable de nous sortir une Demo Geometrique à base de surface de carré ou d'integrale de parabole (2 indications pour 2 demo)
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#5 28-09-2011 13:41:40
- freddy
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- Messages : 7 457
Re : somme des carrés
Merci Yoshi, (quoique ta demo est proche de la demo n°1). Bon je l'accepte...(3/5, encore 2 demo et je rentre)
J'attends toujours Fred, Freddy et autres celebrités du site.
je suis sûr qu'avec un petit effort ils sont capable de nous sortir une Demo Geometrique à base de surface de carré ou d'intégrale de parabole (2 indications pour 2 demo)
je pense que Barbichu devrait pouvoir te dire quelque chose là dessus. Et je pense que notre octogénaire nerosson ne devrait pas manquer de ressources. Tu peux aussi solliciter JPP et Totomn, c'est du lourd !
De mon côté, je fais comme Fred, je passe la main, je n'ai pas le temps d'y réfléchir (j'ai un patron qui me paie tous les mois pour que je travaille à améliorer sans cesse son compte de résultat !).
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#6 28-09-2011 15:17:01
- Saphiraméthyste
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- Inscription : 27-08-2011
- Messages : 23
Re : somme des carrés
Salutations
pour obtenir une formulation generale [tex] \sum_{ i=1 }^{ m } \ i^n [/tex] on utilise le binôme de Newton [tex] \left( x\ +\ y \right)^n \ = \ \sum_{ k=0 }^{ n } \binom{ n }{ k }.x^{n-k}.y^k [/tex] et les coefficients de Bernoulli la methode pour l'obtenir est accessible
par exemple
[tex] 1^2 \ +\ 2^2 \ +\ ...\ +\ n^2 \ =\ 3^{-1}n^3 \ +\ 2^{-1}n^2 \ +\ 6^{-1}n [/tex]
[tex] 2^2 \ +\ 4^2 \ +\ 6^2 \ +\ ...\ +\ n^2 \ =\ 6^{-1}n^3 \ +\ 2^{-1}n^2 \ +\ 3^{-1}n [/tex]
[tex] 1^2 \ +\ 3^2 \ +\ 5^2 \ +\ ...\ +\ n^2 \ =\ 6^{-1}n^3 \ +\ 2^{-1}n^2 \ +\ 3^{-1}n [/tex]
[tex] 1^3 \ +\ 2^3 \ +\ ...\ +\ n^3 \ =\ 4^{-1}n^4 \ +\ 2^{-1}n^3 \ +\ 4^{-1}n^2 [/tex]
[tex] 2^3 \ +\ 4^3 \ +\ 6^3 \ +\ ...\ +\ n^3 \ =\ 8^{-1}n^4 \ +\ 2^{-1}n^3 \ +\ 2^{-1}n^2 [/tex]
[tex] 1^3 \ +\ 3^3 \ +\ 5^3 \ +\ ...\ +\ n^3 \ =\ 8^{-1}n^4 \ +\ 2^{-1}n^3 \ +\ 2^{-1}n^2 \ -\ 8^{-1} [/tex]
[tex] 1^4 \ +\ 2^4 \ +\ ...\ +\ n^4 \ =\ 5^{-1}n^5 \ +\ 2^{-1}n^4 \ +\ 3^{-1}n^3 \ -\ 30^{-1}n [/tex]
[tex] 2^4 \ +\ 4^4 \ +\ 6^4 \ +\ ...\ +\ n^4 \ =\ 10^{-1}n^5 \ +\ 2^{-1}n^4 \ +\ 2.3^{-1}n^3 \ -\ 4.15^{-1} [/tex]
[tex] 1^4 \ +\ 3^4 \ +\ 5^4 \ +\ ...\ +\ n^4 \ =\ 10^{-1}n^5 \ +\ 2^{-1}n^4 \ +\ 2.3^{-1}n^3 \ -\ 4.15^{-1}[/tex]
Dernière modification par Saphiraméthyste (28-09-2011 20:28:56)
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#7 28-09-2011 15:24:41
- karlun
- Membre
- Inscription : 05-05-2010
- Messages : 216
Re : somme des carrés
Bonjour,
Sujet abordé déjà , certes; répétition donc.
Soit une pyramide en coin de base n (de couche de n² cubes 1 (d'arête)), de hauteur n (cubes 1)
De haut en bas: 1²,2²,3²,4²,...,n²
Le volume (V) des n couches de cubes 1= la somme des premiers carrés.
Le volume d'une pyramide lissée = ( b²*h)/3.
Le volume (V) de la pyramide faite de cube 1 de base n et de hauteur n = (n² * n)/3 + la différence entre la pyramide lissée et la pyramide à gradins de cube 1.
à (n²+n)/3 il faut ajouter (2/3)n³ + (n²-n)/2.
Donc: V =b(n²+n)/3 + (2/3)n³ + (n²-n)/2
V = (2n³+3n²+n)/6
La somme des n 1° carrés = (2n³+3n²+n)/6
(Sauf erreur toujours possible)
A+-*/
Dernière modification par karlun (28-09-2011 19:10:20)
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