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freddy

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Un problème "à la freddy"

Un jour, freddy essaya de faire deviner à la communauté des joyeux drilles de la bibmath un nombre entier positif N.

Pour ce faire, il énonça les 15 propriétés que devait vérifier ce nombre unique, à savoir :

-  P1 : N est un multiple de 2 ;
-  P2 : N est un multiple de 3 ;
-  P3 : N est un multiple de 4 ;
-  P4 : N est un multiple de 5 ;
-  P5 : N est un multiple de 6 ;
-  P6 : N est un multiple de 7 ;
-  P7 : N est un multiple de 8 ;
-  P8 : N est un multiple de 9 ;
-  P9 : N est un multiple de 10 ;
-  P10 : N est inférieur à 1.000 ;
-  P11 : N est inférieur à 750 ;
-  P12 : N est inférieur à 550 ;
-  P13 : N est inférieur à 500 ;
-  P14 : N est supérieur à 400 ;
-  P15 : N est supérieur à 450.

Un brillant et vif esprit du site fit remarquer très rapidement qu'un tel nombre ne pouvait exister, car deux des 15 propriétés étaient incompatibles avec les 13 autres, ce dont freddy convint sans difficulté.

Fort de cette (im)pertinente remarque, sauriez vous trouver ce nombre N ?

Question subsidiaire : sauriez vous donner l'initiale du second prénom de baptême de ce vif esprit ?

Au passage, merci à Ph. F !

Dernière modification par freddy (24-08-2011 22:34:22)

Golgup

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Re : Un problème "à la freddy"

yop

N=480 semble convenir, sans P6 et P8 !

++

yoshi

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Re : Un problème "à la freddy"

Re,

Pas d'accord : 480 = 2⁵ * 3 * 5...
Il faudrait rajouter la condition multiple de 32 et supprimer P6.

Pour voir le message caché, sélectionnez la zone "cachée" ci-dessous :

Si P7 alors P1 et P3 inutiles : multiple de 8, il l'est donc déjà de 2 et de 4,,
Si P8 alors P2 inutile : multiple de 9, il l'est donc déjà de 3
Si P7 et P8 alors P5 inutile : multiple de 9 et de 8, il est multiple de 72 et donc de 6...
Si P7 et P4  alors P9 inutile : multiple de 5 et de 8, il est déjà multiple...

Le seul qui reste non évoqué est 7.
5*7*8*9 = 2³ * 3² * 5 * 7 = 2520
Donc la remarque est bien (im)pertinente...

Pour rester dans la zone définie, mes nombres candidats sont
2³ * 3² * 5 = 360            (élimination de P6)
2² * 3² * 5 * 7 = 420       (élimination de P7)
2³ * 3² * 7 = 504            (élimination de P4)
2 * 3² * 5 * 7 = 630                        (élimination de P7 et P3)

Parmi les sous-multiples de 2520,  aucun n'est compris entre 450 et 500, donc il me faut obligatoirement mettre hors-jeu au moins une des conditions P₁₀  à  P₁₅.

Le nombre minimum à obtenir est supérieur  à 400, j'élimine donc le candidat 360.
Si je n'élimine aucune des conditions P10 à P15, aucune réponse, je supprime donc encore un candidat et conserve :
420 et 504 ce qui signifie que je ne vais éliminer qu'une seule condition entre P10 à P15...

Je supprime donc P13 et conserve  le nombre N = 504 (suppression P4)

Comme dirait freddy : sauf erreur, bien sûr...

@+

Dernière modification par yoshi (25-08-2011 09:16:20)

Golgup

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Re : Un problème "à la freddy"

soit pi et pj ces 2 propriétés et soit Nmin verifiant p1...p9 alors Nmin=2520

tableau: (npi="suppression de condition pi")

np1=>np7,np3, np5,np9
np2=>np8,np5
np3=>np7
np4=>np10
np5=>np8,np7
np6=> rien
np7=>rien
np8=>rien
np9=>np4

Et si  [0<i<10 et 9<j<16] alors i=6,7 ou 8

cependant (2520/7)*x > 1000 pour toux x>2 donc impossible. même si x=1 ou 2 car dés lors on doit supprimer plus de 1 propriété pj.

aussi, (2520/2)*x >1000 donc impossible
aussi (2520/3)*x>1000 si x>1 et si x=1, 840 ne vérifie pas moins d'une propriété pj, donc impossible

Il reste deux répartitions dont 9<i,j<16
or celle ci est impossible car elle suppose N=k*Nmin k appartenant à n-(0)  donc N>2520  impossible.

Il reste finalement la dernière (vraie) possibilité: 0<i,j<11 .  Cela implique 449<N<501  et on regarde dans le tableau les lignes ou il ya moins de 2 implications. Or 2520/2 n'est pas entre 450 et 500, tout comme 2520/5. Donc on s'interesse aux npi qui n'implique rien et on cherche 0<x<11 tq 449<(2520/cx)t<501 et c=2,3 ou 7 et t entier quelconque.

Alors on montre qu'il existe une solution unique au problème en montrant qu'il existe un triplet unique (c,x,t) verifiant ci dessus (je ne l'ai pas fait) et on trouve la solution (c,x,t)=(3,7,4) qui donne comme unique solution N=(2520/(3*7))*4 =480

yoshi

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Re : Un problème "à la freddy"

Re,

1. 32 étant un multiple de 8, il n'y pas besoin de préciser multiple de 32, d'accord : j'avais tort.
2. Comme Golgup n'a rien caché de son propre raisonnement, j'affiche cette fois le mien en clair :

Si P7 alors P1 et P3 inutiles : multiple de 8, il l'est donc déjà de 2 et de 4,,
Si P8 alors P2 inutile : multiple de 9, il l'est donc déjà de 3
Si P7 et P8 alors P5 inutile : multiple de 9 et de 8, il est multiple de 72 et donc de 6...
Si P7 et P4  alors P9 inutile : multiple de 5 et de 8, il est déjà multiple de 10...

Le seul nombre qui reste non évoqué est 7.
5*7*8*9 = 2³ * 3² * 5 * 7 = 2520
Donc la remarque limitée à  "il n'existe pas de nombre vérifiant les 15 conditions" est bien (im)pertinente...

Pour rester dans la zone définie, mes nombres candidats sont
2³ * 3² * 5 = 360            (élimination de P6)
2² * 3² * 5 * 7 = 420       (élimination de P7)
2³ * 3² * 7 = 504            (élimination de P4)
2 * 3² * 5 * 7 = 630                        (élimination de P7 et P3)

Parmi les sous-multiples de 2520,  aucun n'est compris entre 450 et 500, donc il me faut obligatoirement mettre hors-jeu au moins une des conditions P10  à  P15.

Le nombre minimum à obtenir est supérieur  à 400, j'élimine donc le candidat 360.
Si je n'élimine aucune des conditions P10 à P15, aucune réponse, je supprime donc encore un candidat et conserve :
420 et 504 ce qui signifie que je ne vais éliminer qu'une seule condition entre P10 à P15...

Je supprime donc P13 et conserve  le nombre N = 504 (suppression P4)

Donc, résumé :
504 = 2³ * 3² * 7 = 504 
* J'ai supprimé la condition P7 (multiple de 8) et j'ai choisi un multiple de 4 non multiple de 8,
* J'ai supprimé la condition P13 (inférieur à 500).

J'ai bien un nombre compatible avec 13 des 15 conditions affichées...
Cette fois, je suis plus prudent j'ai écrit un : article indéfini et adjectif numéral cardinal...

deux des 15 propriétés étaient incompatibles avec les 13 autres, ce dont freddy convint sans difficulté.

J'avais interprété cela comme une invitation à ne conserver que 13 des 15 propriétés.

480 valide les conditions P14 et P15 : supérieur à 400 et supérieur à 450.
480 valide la condition P10 : inférieur à 1000
480 valide la condition P11 : inférieur à 750
480 valide la condition P12 : inférieur à 550
480 valide la condition P13 : inférieur à 500

Les conditions P10 à 15 sont validées.
480 n'étant pas multiple de 7 ni de 9, les conditions P1 à P5 et P7, P9 sont validées : multiple de 2,3,4,5,6,8...
480 valide donc toutes les conditions sauf deux
Golgup a donc prouvé qu'il existe un nombre compatible avec 13 des 15 propositions.
Moi aussi.
Lui a supprimé P6 et P8, moi, P7 et P13...

@+

PS : Je n'arrive plus à éditer les posts pour rectifier une fôte d'Heaurtograffe éventuelle. Et vous ?

Golgup

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Re : Un problème "à la freddy"

hi!

Yoshi il existe une unique solution pas deux, que fais-tu de P9?

yoshi

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Re : Un problème "à la freddy"

RE,

Yoshi il existe une unique solution pas deux, que fais-tu de P9?

1. Ce n'est pas parce que tu démontres de façon tarabiscotée qu'il n'y en a qu'une que je vais te croire sur parole:
    Je n'ai pas lu ta démo : elle m'écorche les yeux...
2. J'ai oublié qu'en virant P4, je désactivais P9
3. Je ne rendrais les armes que lorsque j'aurais tout essayé de façon exhaustive...
4. T'aurais pu le dire tout de suite au lieu de
    a) Ne pas répondre à mon objection,
    b) D'ignorer mon "pseudo "spoiler"...

J'ai réouvert la discussion demandée.

@+

Golgup

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Re : Un problème "à la freddy"

RE,

Es-tu au moins d'accord pour la répartition des 2 proposition? Soit  e={P1...P9} e'={P10...P15} alors i et j étant différents, il ya 3 répartitions possibles et on montre que seule Pi et Pj inclus dans e est possible. ensuite c'est du calcul.

Merci pour la discussion

yoshi

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Re : Un problème "à la freddy"

Salut,

J'peux pas répondre j'arrive pas à rentrer, me concentrer sur ce ce que tu écris...
Je vais reprendre mon idée en tenant compte de ma "découverte" (!) :  virer P4, c'est ipso facto virer P9...
Donc :
virer P1, c'est virer P3 et P7 : 3 d'un coup.  Impensable.
Virer P2, c'est virer P5 et P9 : 3 d'un coup.  Impensable
Virer P5, c'est virer P10        : 2 d'un coup.
Dans ce cas, je dois avoir 450 < 252k < 500. Pas de solution.
Donc garder 2, 3 et 5...
Virer 6 : pas possible...
Virer 7 : peu compromettant.
Virer 8 : peu compromettant.
Virer 9 : peu compromettant.
Virer 10 pas possible.
Si je ne touche pas aux propriétés P10 à 15, il faut que je trouve un multiple de 30 non multiple de 2 membres du trio infernal...
3 choix de suppression 7, 8 - 7, 9 - 8, 9
qui conduisent à prendre des multiples respectivement de
2520/14 =180 ; 2520/21 = 120 et  2520/6 = 420
* Il n'existe aucun multiple de 420 compris entre 450 et 500...
* Il n'existe aucun k>2 tel que 450 < 180k < 500...
* Reste à chercher k <>3 tel que 450 < 120k < 500. On trouve k = 4

Si je ne touche pas aux propriétés P10 à P15, seule réponse : 480.

Es-il possible de ne supprimer qu'un membre du trio infernal et une propriété entre P10 et P15 ?
Je n'ai que deux choix virer P13 pour avoir une limite supérieure de 550 ou P15 pour limite inférieure abaissée à 400.
* Si P15
   - Suppression du 7 --> recherche d'un multiple 360k de 2520/7 tel que 400 < 360k < 500. Pas de réponse.
   - Suppression du 8 (et lui seul) --> recherche d'un multiple de 1260. Pas de réponse.
   - Suppression du 9 (et lui seul) --> recherche d'un multiple de 820. Pas de réponse.
* Si P13
   Même calculs que ci-dessus. Pas de solution.
Il n'y a donc qu'une voie possible ne pas toucher aux bornes, mais supprimer deux propriétés entre P1 et P9.

Donc, effectivement une seule solution 480...

Bravo Golgup !

Quant à l'initiale du 2nd prénom... Boufre ! Ca doit encore être "capilotracté !"...

@+

freddy

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Re : Un problème "à la freddy"

Pace e salute,

oui, bravo golgup !

Sinon, le vif esprit en question n'a jamais été baptisé ... :-)))

Saphiraméthyste

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Re : Un problème "à la freddy"

Un jour, freddy essaya de faire deviner à la communauté des joyeux drilles de la bibmath un nombre entier positif N.

Pour ce faire, il énonça les 15 propriétés que devait vérifier ce nombre unique, à savoir :

-  P1 : N est un multiple de 2 ;
-  P2 : N est un multiple de 3 ;
-  P3 : N est un multiple de 4 ;
-  P4 : N est un multiple de 5 ;
-  P5 : N est un multiple de 6 ;
-  P6 : N est un multiple de 7 ;
-  P7 : N est un multiple de 8 ;
-  P8 : N est un multiple de 9 ;
-  P9 : N est un multiple de 10 ;
-  P10 : N est inférieur à 1.000 ;
-  P11 : N est inférieur à 750 ;
-  P12 : N est inférieur à 550 ;
-  P13 : N est inférieur à 500 ;
-  P14 : N est supérieur à 400 ;
-  P15 : N est supérieur à 450.

Un brillant et vif esprit du site fit remarquer très rapidement qu'un tel nombre ne pouvait exister, car deux des 15 propriétés étaient incompatibles avec les 13 autres, ce dont freddy convint sans difficulté.

Fort de cette (im)pertinente remarque, sauriez vous trouver ce nombre N ?

Question subsidiaire : sauriez vous donner l'initiale du second prénom de baptême de ce vif esprit ?

Au passage, merci à Ph. F !

Solution 420=4.3.5.7
invalide P7 et P8
Question subsidiaire : sauriez vous donner l'initiale du second prénom de baptême de ce vif esprit ?
T comme Tuco

freddy

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Re : Un problème "à la freddy"

Un jour, freddy essaya de faire deviner à la communauté des joyeux drilles de la bibmath un nombre entier positif N.

Pour ce faire, il énonça les 15 propriétés que devait vérifier ce nombre unique, à savoir :

-  P1 : N est un multiple de 2 ;
-  P2 : N est un multiple de 3 ;
-  P3 : N est un multiple de 4 ;
-  P4 : N est un multiple de 5 ;
-  P5 : N est un multiple de 6 ;
-  P6 : N est un multiple de 7 ;
-  P7 : N est un multiple de 8 ;
-  P8 : N est un multiple de 9 ;
-  P9 : N est un multiple de 10 ;
-  P10 : N est inférieur à 1.000 ;
-  P11 : N est inférieur à 750 ;
-  P12 : N est inférieur à 550 ;
-  P13 : N est inférieur à 500 ;
-  P14 : N est supérieur à 400 ;
-  P15 : N est supérieur à 450.

Un brillant et vif esprit du site fit remarquer très rapidement qu'un tel nombre ne pouvait exister, car deux des 15 propriétés étaient incompatibles avec les 13 autres, ce dont freddy convint sans difficulté.

Fort de cette (im)pertinente remarque, sauriez vous trouver ce nombre N ?

Question subsidiaire : sauriez vous donner l'initiale du second prénom de baptême de ce vif esprit ?

Au passage, merci à Ph. F !

Solution 420=4.3.5.7
invalide P7 et P8
Question subsidiaire : sauriez vous donner l'initiale du second prénom de baptême de ce vif esprit ?
T comme Tuco

Et que fais tu de P15 ?