Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Valentin

Membre

Inscription : 17-02-2010

Messages : 143

maximiser une fonction!

Bonjour à tous,
J'ai essayé de résoudre ce problème et je n'arrive pas!
Voici le sujet:
Soit A et B deux matrices carrées de [tex]{M}_{n}\left(\mathbb{R}\right)[/tex] telles que [tex]A{=}^{T}A\geq 0[/tex] et [tex]B{=}^{T}B>0[/tex]. Le but de cet exercice est de maximiser la fonction :
[tex]f\left(x\right)=\frac{xA{.}^{T}x}{xB{.}^{T}x}[/tex] où [tex]x=\left({x}_{1},{x}_{2},...,{x}_{n}\right)\in {\mathbb{R}}^{\times }[/tex].
1)On suppose que maxf(x) existe. Montrer que [tex]\max f\left(x\right)={\max }_{xB{.}^{T}x=1}\left(xA{.}^{T}x\right)[/tex]

2)Montrer que [tex]\nabla xA{.}^{T}x=2xA\,où\,\nabla \,est\,le\,gradient.[/tex]

3)En utilisant la méthode de Lagrange, montrer que la maximum de f est la plus grande valeur propre de [tex]{B}^{-1}A[/tex].

Je vous remercie d'avance!
Valentin

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 348

Re : maximiser une fonction!

Salut Valentin,

  Voici quelques pistes :

1) C'est un raisonnement par homogénéité. Simplement, si x est non nul dans [tex]\mathbb R^n[/tex], et si
[tex]y=\lambda x,\ \lambda\neq 0[/tex], alors [tex]f(y)=f(x)[/tex]. Tu appliques cette propriété avec
[tex]\lamba=\frac{1}{xB\ ^T x}[/tex], sachant qu'alors [tex]yA\ ^Ty=1[/tex]

2) La première chose à faire, c'est calculer [tex]xA\ ^Tx[/tex]. Un calcul pas trop compliqué prouve que :
[tex]xA\ ^T x=\sum_{i,j}a_{i,j}x_ix_j[/tex]

Tu calcules ensuite le gradient de cela. Sa i-ème coordonnée est donnée par la dérivée i-ème de l'expression précédente, et on trouve qu'elle vaut :

[tex]2a_{i,i}+\sum_{j\neq i}a_{i,j}+\sum_{j\neq i}a_{j,i}[/tex]

Puisque la matrice A est symétrique, ceci se ramène à

[tex]2\sum_{j=1}^n a_{i,j}[/tex]

Et si on calcule [tex]2xA[/tex], on trouve qu'il s'agit d'un vecteur colonne dont la i-ème coordonnée est exactement égale à ce que je viens d'écrire.

3)  Tu appliques juste le théorème des multiplicateurs de Lagrange. Tu cherches à maximiser [tex]xA\ ^Tx[/tex]
sur [tex]xB\ ^Tx=1[/tex]. Les deux gradients doivent être proportionnels et donc on a nécessairement
[tex]2xA=c2xB[/tex] d'après le résultat de la question précédente, ce qui entraine que x est un vecteur propre de [tex]B^{-1}A[/tex]. Après, il faut encore vérifier que c'est la plus grande valeur propre qui donne le résultat le plus grand...

Fred.

candidate92

Membre

Inscription : 06-07-2011

Messages : 6

Re : maximiser une fonction!

salut

1) Tu appliques cette propriété avec
[tex]\lamba=\frac{1}{xB\ ^T x}[/tex], sachant qu'alors [tex]yA\ ^Ty=1[/tex]

j ai po compris

ET MERCI

Dernière modification par candidate92 (08-07-2011 00:19:21)

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 348

Re : maximiser une fonction!

Re-

  Il manque un [tex]\lambda[/tex], il faut lire tu appliques cette propriété avec [tex]\lambda=...[/tex]

F.

Valentin

Membre

Inscription : 17-02-2010

Messages : 143

Re : maximiser une fonction!

Bonjour Fred,
je t'avoue que je n'ai pas compris ta première réponse du 1). Est-ce que j'applique la propriété de l'homogénéité avec  [tex]\lambda =\frac{1}{xB{.}^{T}x}[/tex]?  [tex]\max f\left(x\right)=\max \left(xA{.}^{T}x\left(\lambda \right)\right),\,sachant\,que\,\lambda =1[/tex]!

candidate92

Membre

Inscription : 06-07-2011

Messages : 6

Re : maximiser une fonction!

salut

Bonjour Fred,
je t'avoue que je n'ai pas compris ta première réponse du 1). Est-ce que j'applique la propriété de l'homogénéité avec  [tex]\lambda =\frac{1}{xB{.}^{T}x}[/tex]?  [tex]\max f\left(x\right)=\max \left(xA{.}^{T}x\left(\lambda \right)\right),\,sachant\,que\,\lambda =1[/tex]!

je crois qu il cherche a prouver que pour tout y telle [tex]yB\ ^Ty=1[/tex]   et pour tout x  [tex]\right)\in {\mathbb{R}}^{\times }[/tex].             f(x)=f(y)

et pour cela il a pris  [tex]y=\lambda x[/tex] et  [tex]\lambda =\frac{1}{xB{.}^{T}x}[/tex]

egalite de deux fonctions  implique egalite  des max

j espere que FRED  sera d accord avec moi.(en faite ,  fred a  fait un petite erreur dans sa premiere reponse concernant  la condition que doit verifier le y : [tex]yA\ ^Ty=1[/tex]  )

sinon MERCI fred pour ta reponse

Dernière modification par candidate92 (09-07-2011 13:59:01)