Question de convergence de séries

Mstafa · 30-06-2011 00:02:14

H l'ensemble des suites réelles [tex]{\left({a}_{n}\right)}_{n\in \mathbb{N}}[/tex] tels que la série [tex]\sum^{+\infty }_{n=0}{n}^{2}{{a}_{n}^{2}}[/tex] soit convergente.
Montrer que si la suite [tex]\left({a}_{n}\right)\,[/tex] est dans H alors la série [tex]\sum^{+\infty }_{n=0}\left|{a}_{n}\right|[/tex] est convergente.

freddy · 30-06-2011 05:18:02

Salut Moustapha,

soit E l'ensemble des internautes qui ont reçu un minimum d'éducation (ils savent dire : "Bonjour, merci, au revoir", ... et autres civilités qui mettent de l'huile dans les rouages de la communication humaine)

Peux tu nous dire dans quel ensemble tu appartiens : E, ou bien son complémentaire dans le reste des internautes ?

Merci d'avance et à te lire !

Bis bald

Mstafa · 30-06-2011 07:30:01

Bnojour,

Bon je m'excuse !

Aussi tu n'as pas du définir un ensemble d'Internautes non éduqués et me maître dedans. car enfin on oublie parfois des choses.

Dernière modification par Mstafa (30-06-2011 16:22:31)

yoshi · 30-06-2011 10:49:54

Salut Mstafa,

1er rappel à l'ordre.

Pourquoi cette bordée d'insultes ?
freddy avait raison de te faire la remarque -sans être méchant-, mais tu ne sembles pas vouloir faire amende honorable de bonne grâce...
Comme il avait essayé de le faire avec de l'humour mathématique, je n'avais rien ajouté.

Là, tu m'obliges à intervenir !
En effet, nos Règles de vie stipulent :

L'objectif de BibM@th est de créer un lieu d'échange, d'entraide, d'information ouvert à tous. Les utilisateurs sont invités à faire de ce forum un moyen de communication convivial, ouvert. Tout message se doit donc de contenir les formules de "politesse" en usage dans les rapports sociaux : Bonjour, (Bonsoir, Salut), s'il vous plaît, merci...
En cas d'oubli (!), un modérateur (ou l'Administrateur) répondrait en vous incitant à reformuler votre question, fermerait la discussion, et passé un délai de quelques jours, la supprimerait.

Probablement ne les as-tu pas lues ?

Je vais faire preuve de compréhension et ne pas appliquer le règlement à la lettre (sur d'autres sites, la fermeture est automatique) : je laisse la discussion ouverte.
Mais tu aurais dû prêter attention au bandeau du forum que voilà : :

Il me semble que la moindre chose quand on est demandeur est d'essayer de ne pas faire de vagues et de se montrer courtois... Autant, en effet, ne pas jeter son sujet à la figure de ceux qui sont susceptibles de vous aider car on pourrait alors tout aussi bien ajouter : << Débrouille-toi (je suis resté poli) avec ça ! >>.

Alors j'attends que tu manifestes quelques regrets de ton geste d'humeur...
Le 2e rappel te bannirait 15 j, le temps de réfléchir.
En attendant, il n'y aura pas d'autres réponses !

@+

Yoshi
- Modérateur -

thadrien · 30-06-2011 13:16:23

@yoshi : je serai d'avis dans ce genre de cas de supprimer TOUTE réponse à la question de départ, pour deux raisons :

1/ On ne mérite pas d'avoir une réponse quand on est grossier.

2/ Supprimer les réponses oblige celui qui a posé la question à la reposer poliment.

Qu'en penses-tu ?

boubamane · 30-06-2011 13:28:15

Bonjour, chers amis

Je suis content de voir que ça "maths" finalement.

A+.

Dernière modification par boubamane (01-07-2011 00:53:45)

thadrien · 30-06-2011 14:33:40

Moi non plus je ne peux pas supporter de tels propos à l'encontre de Freddy ! Ça me donne envie de sortir la boite à baffes.

yoshi · 30-06-2011 15:50:25

Re,

Je suis bien d'accord, c'était par égards envers mathieu64 : il répond, je supprime son message donc je détruis son travail : en quelque sorte, il est puni... Du moins pourrait-il le prendre comme ça : je n'aime donc pas beaucoup supprimer les messages des autres ...
C'est vrai que j'aurais pu le faire et ajouter un petit mot en disant que j'ai supprimé le message, que pour l'instant Mstafa ne méritait pas de réponse.
C'est fait maintenant.

Mais les gars, ces propos ne sont pas inadmissibles à l'encontre de n'importe quel membre du forum qui aurait manifesté son agacement devant... l'oubli (!), pas seulement parce que c'est freddy : on peut dire que c'est une circonstance aggravante.

@+

Mstafa · 30-06-2011 17:48:15

Bonjour tout le monde !

Je m'excuse encore une fois j'appartiens bien à E .

J'ai trouvé la réponse à ma question :
Supposons que [tex]\left({a}_{n}\right)\,\in \,H\,\Rightarrow \,\sum^{+\infty }_{n=0}{n}^{2}{{a}_{n}}^{2}[/tex] est convergente.

Cas n°1.
Si [tex]\lim_{n \to +\infty }{n}^{2}\left|{a}_{n}\right|=l[/tex] avec [tex]0\leq l<+\infty [/tex]

Alors à partir d'un certain rang [tex]\left|{a}_{n}\right|{n}^{2}-l\leq 1\,\Rightarrow \,\left|{a}_{n}\right|\,\leq \,\frac{1+l}{{n}^{2}}\,\,\Rightarrow \sum^{+\infty }_{n=0}\left|{a}_{n}\right|\,cvte.\,[/tex]

Cas n°2.
Si [tex]\lim_{n \to +\infty }{n}^{2}\left|{a}_{n}\right|=+\infty \,[/tex]

Alors : [tex]\left|{a}_{n}\right|-{n}^{2}{{a}_{n}}^{2}=\left|{a}_{n}\right|\left(1-{n}^{2}\left|{a}_{n}\right|\right)\,\leq \,0[/tex] à partir d'un certain rang.

[tex]\Rightarrow \,\,\left|{a}_{n}\right|\,\leq \,{n}^{2}{{a}_{n}}^{2}[/tex] à partir d'un certain rang. Or [tex]\sum^{+\infty }_{n=0}{n}^{2}{{a}_{n}}^{2}\,<\,+\infty [/tex]

[tex]\Rightarrow \,\sum^{+\infty }_{n=0}{a}_{n}[/tex] est convergente.

yoshi · 30-06-2011 20:51:33

Re,

Ok !
La réponse de mathieu64 était la suivante :

mathieu64 a écrit :

Salut,
Comme an²n² est une série convergente, on peut dire qu'à partir d'un certain rang an²n²<1/n puis conclure.
Bonne journée.

@+

Mstafa · 30-06-2011 21:47:42

Salut tout le monde :
Je crois qu'il est indispensable de séparer les cas aussi comment tu peux montré cette implication
[tex]\sum {n}^{2}{{a}_{n}^{2}}[/tex] convergente [tex]\Rightarrow \,\,\,\,\,{n}^{2}{{a}_{n}^{2}}\leq \,\frac{1}{n}[/tex] ?

Cette dernière implication n'est pas juste car même si [tex]\lim_{n \to +\infty }{n}^{2}{{a}_{n}^{2}}=\,0[/tex], cela n'implique pas que [tex]{n}^{2}{{a}_{n}^{2}}<\frac{1}{n}[/tex] à partir d'un certain rang !

Merci

Dernière modification par Mstafa (30-06-2011 21:58:59)

yoshi · 30-06-2011 22:03:18

Bonsoir,

Je ne comprends pas ce que tu veux me dire avec :

Je crois qu'il est indispensable de séparer les cas aussi comment il peut montré cette implication ...

Qu'est- ce que tu souhaites
* que je fasse ?
* que mathieu64 fasse ?
Non, ce n'est ça que tu veux dire ?
Alors quoi ?

Ah...
En relisant la réponse de mathieu64, je crois comprendre...
Lui il dit de montrer que
[tex]n^2a_n^2<\frac 1 n[/tex]...
Toi, tu ne vois pas comment et tu penses qu'il faut distinguer 2 cas comme tu l'as fait...

Là, si c'est ça, je ne vais pas répondre à sa place...

Pour finir, tu fais du Latex via l'Editeur d'équations de Fred, c'est bien, tout le monde n'a pas ce courage !
Mais sais-tu que tu peux contrôler totalement ce que tu écris en faisant du LaTeX à "à la main" ?
Regarde ici : Code LateX...

Enfin LaTeX, sur un Forum n'est pas fait pour écrire du texte (ça devient vite difficile à lire), il faut le réserver aux formules.... J'ai édité et modifié tes deux posts en conséquence, regarde ce que j'ai fait.

@+

[EDIT]
Tu as rectifié ton message pendant que j'écrivais le mien : j'avais bien raison, donc...

Dernière modification par yoshi (30-06-2011 22:07:05)

Mstafa · 30-06-2011 22:15:07

salut :
Merci pour les informations et pour le lien
tout simplement je crois que l'implication qu'il a écrit n'est pas juste.

Groupoid Kid · 01-07-2011 10:30:28

Salut Mstafa

Dans ta disjonction de cas, tu as oublié un cas important :
Cas n°3 : Et si [tex]n^2|a_n|[/tex] n'a pas de limite ?

Et sinon pour te répondre, il est évident que la condition de mathieu ne peut être remplie : en transformant le terme général, toute série peut s'écrire sous la forme [tex]\sum {n}^{2}{{a}_{n}^{2}}[/tex]. Et ça se saurait si les termes généraux de toutes les séries -mêmes convergentes- pouvaient être majorés par [tex]\dfrac{1}{n}[/tex] !
Tu peux facilement construire des contre-exemples lacunaires, comme celui-ci :
[tex]\left\{\begin{array}{l}
a_n = \dfrac{2}{n^2}\ \ \txt{si}\ n=p^2\\
a_n = 0\ \txt{sinon}
\end{array}\right.[/tex]
De sorte que [tex]\sum_n n^2 a_n^2 = \sum_{n=p^2} \dfrac{4n^2}{n^4} = \sum_p \dfrac{4}{p^2} < +\infty[/tex], bien que le terme général soit régulièrement quatre fois plus grand que [tex]\dfrac{1}{n}[/tex]...

Cordialement,
GK

freddy · 01-07-2011 10:36:53

Salut Moustapha,

ce que dit mathieu64 est parfaitement exact, et ce que tu écris est faux.

Exact en reprenant simplement la définition d'une limite.

Puisque la série de teme général [tex]n^2\times a_n^2[/tex] converge, alors on sait que la suite de même terme général associé tend vers 0.

Tendre ver 0 signifie, en reprenant la définition de la limite, que :

[tex] \forall \epsilon >0,\; \exists N_{\epsilon} >0 \;\text{tel que}\;n \ge N_{\epsilon} \Rightarrow n^2\times a_n^2 < \epsilon[/tex]

Et rien n'interdit de choisir [tex] \epsilon = \frac1n [/tex]

Donc tu déduis que la série positive de terme général [tex] |a_n|[/tex] est majorée par une série convergente (car la série de terme général [tex]\frac{1}{n^{\frac32}}[/tex] est convergente), elle est donc convergente.

Capisci ?

Dernière modification par freddy (01-07-2011 10:38:22)

Mstafa · 01-07-2011 13:24:55

Salut

Merci Groupoid et Freddy

Oui il manque bien un cas dans mon raisonnement et je vais y réfléchir.

Lorsque

freddy a écrit :

ce que dit mathieu64 est parfaitement exact, et ce que tu écris est faux.
en reprenant la définition de la limite, que :
[tex] \forall \epsilon >0,\; \exists N_{\epsilon} >0 \;\text{tel que}\;n \ge N_{\epsilon} \Rightarrow n^2\times a_n^2 < \epsilon[/tex]
Et rien n'interdit de choisir [tex] \epsilon = \frac1n [/tex]

Je crois que le [tex]\epsilon[/tex] ne doit pas dépendre de n et doit être fixé au début.

Sinon " toute suite qui converge vert 0 va être [tex]<\,\frac{1}{n}\,[/tex] pour n assez grand ", et cela n'est pas juste;

il suffit de prendre comme contre exemple [tex]{U}_{n}=\frac{1}{\sqrt{n}}[/tex]

Cordialement,
Moustapha

freddy · 01-07-2011 13:56:51

Re,

exact, il faut modifier !

Dernière modification par freddy (01-07-2011 13:58:34)

mathieu64 · 01-07-2011 15:25:27

En fait je disais ça comme la serie 1/n n'est pas convergente alors comme an²n² est une serie à terme positif convergente nécéssairement il existe un N tel que pour tout n > N 1/n > an²n².
Je me suis rendu compte que c'était complétement faux.

a+

freddy · 02-07-2011 05:34:16

Re,

je me disais bien que j'avais rencontré ça un jour !

Allez, va voir là : http://www.bibmath.net/dico/index.php3? … emann.html

Bon courage.

Groupoid Kid · 02-07-2011 12:33:17

Yop les copains :)

Effectivement Freddy, la règle qu'a employée Mstafa dans le cas où il y a une limite finie correspond bien au critère de Riemann. (En fait on peut même élaguer davantage en utilisant une borne uniforme, ou la notion de limite sup.)

Mais ici le problème est assez fin, puisque l'information fournie par la limite nulle du TG porte sur le *carré* de [tex]a_n[/tex], et ne suffit donc pas à prescrire le comportement de [tex]\sum a_n[/tex]. D'ailleurs ça se voit dans la disjonction de cas que fait Mstafa : il n'utilise l'hypothèse de sommabilité que dans le cas 2 !

Pour le moment j'avoue que je sèche : j'ai trouvé des exemples de tous les cas bizarres possibles, mais pas de preuve du résultat. Je n'arrive pas à traiter les cas où on a une limsup infinie et une liminf nulle, c'est-à-dire grosso modo quand les cas 1 et 2 se mélangent.

Mstafa · 02-07-2011 15:57:08

Bonjours les amis !

Je vous remercie beaucoup pour votre aide.

Le théorème de Riemann que m'a proposé Freddy est très utile et c'est ce que j'ai utilisé dans le 1er cas, pour le 3ème cas que

Groupoid Kid m'a fait rappelé reste un problème en effet lorsque la suite oscille à l'infinie on ne peut rien dire. j'ai tenté une chose

et j'attend vos remarques,

Considérons les deux ensembles que je suppose ordonnés de manière croissante :

[tex]{E}_{0}=\left\{n\in \mathbb{N}^*/\left|{a}_{n}\right|{n}^{2}\right.<1\}[/tex] et [tex]{E}_{1}=\left\{n\in \mathbb{N}^*/\left|{a}_{n}\right|{n}^{2}\right. \geq 1\}[/tex]

on a : [tex]\sum_{n> 0}\left|{a}_{n}\right|=\sum^{}_{n\in {E}_{0}}\left|{a}_{n}\right|+\sum^{}_{n\in {E}_{1}}\left|{a}_{n}\right|[/tex]

[tex]\leq \sum^{}_{n\in {E}_{0}}\frac{1}{{n}^{2}}+\sum^{}_{n\in {E}_{1}}n^2\left|{a}_{n}\right|^2[/tex]

car [tex]\left|{a}_{n}\right|-{n}^{2}{{a}_{n}}^{2}=\left|{a}_{n}\right|\left(1-{n}^{2}\left|{a}_{n}\right|\right)\,\leq \,0[/tex] pour tout [tex]n\in {E}_{1}[/tex] .

donc [tex]\sum_{n> 0}\left|{a}_{n}\right|\leq \sum^{}_{n>0}\frac{1}{{n}^{2}}+\sum^{}_{n>0}n^2\left|{a}_{n}\right|^2[/tex]

Par suite la série converge.

Dernière modification par Mstafa (02-07-2011 23:10:17)

Groupoid Kid · 03-07-2011 01:55:00

Bravo !

Je suis arrivé à la même majoration par une route différente : l'inégalité de Hölder dans [tex]l^2[/tex]. Attention toutefois à ta rédaction : ce que tu majores ce sont les sommes partielles, et tu en déduis que la somme totale existe / converge.

Mstafa · 03-07-2011 11:14:15

Merci Groupoid Kid

Pour ta remarque comme les série sont à termes positifs on a :

[tex]\sum^{}_{n\in {E}_{0}}\left|{a}_{n}\right|\leq\sum^{}_{n>0}\left|{a}_{n}\right|[/tex] et de même pour l'autre somme.

On peut également utiliser l'inégalité suivante [tex]2ab\leq {a}^{2}+{b}^{2}[/tex] et avoir :

[tex]2\left|{a}_{n}\right|=2.\frac{1}{n}\left(n{a}_{n}\right)\leq \frac{1}{{n}^{2}}+{n}^{2}{{a}^{2}}_{n}[/tex]

d'où [tex]\left|{a}_{n}\right|\leq \frac{1}{{n}^{2}}+{n}^{2}{{a}^{2}}_{n}[/tex] puis conclure

C'est plus simple comme ça n'est-ce-pas ? seulement au début on cherchait à majorer par un seul terme
et non pas par la somme de deux termes.

Peux-tu me dire plus de détail sur l'utilisation de la méthode de Hölder dans ce cas et merci.

Dernière modification par Mstafa (03-07-2011 11:15:41)

Groupoid Kid · 03-07-2011 20:09:41

Certainement :)

Tu effectues la même décomposition en produit que celle que tu indiques, [tex]a_n=\frac{1}{n}(na_n)[/tex]. On sait que les familles [tex]\left(\frac{1}{n}\right)_n[/tex] et [tex](na_n)_n[/tex] sont de carré sommable, donc d'après Hölder :
[tex]\sum_n\left|\frac{1}{n}(na_n)\right| \leqslant \left(\sum_n \frac{1}{n^2}\right)^{1/2} \cdot \left(\sum_n (na_n)^2\right)^{1/2}[/tex]

Bon, j'ai un peu exagéré en disant que c'était la même majoration, mais ce sont bien les 2 mêmes séries qui servent à majorer ^^

Pour ma remarque, elle dépend de ton niveau : si tu viens d'apprendre les séries, il faut montrer que tu sais faire la différence entre une série (qui n'est en fait qu'une famille) et sa somme (qui est nombre). Avant de parler de la somme, il faut montrer qu'elle existe, ici puisque le terme général est positif il suffit -comme tu l'as dit- de majorer uniformément les sommes partielles. Si par contre tu es très aguerri sur les séries, tu peux te permettre d'abuser outrageusement du formalisme et d'argumenter comme tu l'as fait :)

@ la prochaine !

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Question de convergence de séries

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