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#1 18-06-2011 13:22:18
- fuxi
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integrale impropre
bonjour
voila on me demande de démontrer la convergence de [tex]I=\int^{1}_{0} \frac{\ln(1-t^2)}{t^2}\mathrm{d}t[/tex].
on peut ecrire [tex]I= \int^{\frac{1}{2}}_{0} \frac{\ln(1-t²)}{t^2}\mathrm{d}t + \int^{1}_{\frac{1}{2}} \frac{\ln(1-t²)}{t^2}\mathrm{d}t[/tex]
si [tex]\lim_{x_1\to 0 \atop x_1>0} \int^{\frac{1}{2}}_{x_1} \frac{\ln(1-t²)}{t^2}\mathrm{d}t[/tex] et [tex]\lim_{x_2\to 1 \atop x_2< 1}\int^{x_2}_{\frac{1}{2}} \frac{\ln(1-t²)}{t^2}\mathrm{d}t[/tex] admette une limite fini alors [tex]I[/tex] converge
au voisinage de zero:
on pose [tex]t²=X[/tex]
[tex]\frac{ln(1-X)}{X} \sim_0 -1[/tex]
au voisinage de 1:
je suis coincé est ce que jusqu'à la c'est rigoureux ?
ensuite on me demande d'établir que c'est -2ln2 par intégration par partie, mais je me dit un changement de variable c'est plus facile.
merci
Dernière modification par fuxi (18-06-2011 14:15:28)
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#2 18-06-2011 18:23:00
- Groupoid Kid
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Re : integrale impropre
Salut fuxi
Il manque une rédaction solide pour appeler ça "rigoureux", mais ton idée est correcte :-)
Si tu ne t'en sors pas au voisinage de 1, essaie de faire le changement de variable u=1-t, puis cherche un équivalent en 0+ Ce sera peut-être plus facile de cette façon.
Pour le calcul, je serai curieux de savoir à quel changement de variables tu penses. Tu as tout de même raison sur un point : même avec l'IPP ce n'est pas simple !
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#4 21-06-2011 14:44:17
- fuxi
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Re : integrale impropre
d'accord merci c'est noté pour la rédaction. sinon je pense que pour le dl j'aurai du allée jusqu'à l'ordre 2, puis pour le 1 avec le changement de variable sa glisse tranquille. puis pour le calcule je pense que si je sépare l'intégrale sa deviens facile
merci
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#5 24-06-2011 13:22:45
- Amadou KANE
- Invité
Re : integrale impropre
comme vous l'avez si bien dit, en ecrivant I=I1+I2, il reste a demontrer que I1 et I2 convergent. Donc, pour la convergence de I1, il suffit de remplacer la inferieure cad 0 par une variable x par exple enfin de se ramener a un calcul d'une integrale finie, on peut faire une integration par parties pour trouver la primitive a chercher. Apres avoir obtenu l'expression de I1 en fonction de x, on fait tendre x vers 0+. Meme demarche pour I2 en faisant tendre x vers 1-.
merci
#6 24-06-2011 19:41:50
- Mstafa
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Re : integrale impropre
Mon avis : Je crois que cette intégrale est convergente au voisinage de 0 " ça tu l'as déjà montré" et qu'elle est divergente au voisinage de 1
car il n'est pas bornée à ce voisinage.
preuve :
[tex]on\,peut\,poser\,I\,=\,{I}_{1}+{I}_{2}[/tex]
[tex]avec\,{I}_{1}=\,\int^{\frac{1}{2}}_{0}\frac{\ln \left(1-{t}^{2}\right)}{{t}^{2}}dt\,\,\,\,\,\,et\,\,\,\,{I}_{2}=\int^{1}_{\frac{1}{2}}\frac{\ln \left(1-{t}^{2}\right)}{{t}^{2}}dt[/tex]
[tex]On\,a\,\,{\lim }_{t\rightarrow {1}^{+}}\frac{\ln \left(1-{t}^{2}\right)}{{t}^{2}}\,=\,-\infty [/tex]
[tex]Donc\,\forall \,A>0\,,\,\exists \eta>0\,telque\,pour\,tout\,\,\,\,\,\eta\,<\,t\,<1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{\ln \left(1-{t}^{2}\right)}{{t}^{2}}\,<\,-A[/tex]
[tex]\Rightarrow \,\forall \,A>0\,,\,\exists \,\eta>0,\,0<\eta<1\,\,telque\,pour\,tout\,\n\n\nt\,\,\eta\,<\,t\,<1\,\,on\,a [/tex]
[tex]{I}_{2}=\int^{1}_{\frac{1}{2}}\frac{\ln \left(1-{t}^{2}\right)}{{t}^{2}}dt\,\,=\,\,\int^{\eta}_{\frac{1}{2}}\frac{\ln \left(1-{t}^{2}\right)}
{{t}^{2}}dt\,+\,\int^{1}_{\eta}\frac{\ln \left(1-{t}^{2}\right)}{{t}^{2}}dt\,\,\,[/tex]
[tex]Or\,\,\int^{\eta}_{\frac{1}{2}}\frac{\ln \left(1-{t}^{2}\right)}{{t}^{2}}dt\,\leq \,0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,et\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\int^{1}_{\eta}\frac{\ln \left(1-{t}^{2}\right)}{{t}^{2}}dt\leq -A[/tex]
[tex]Donc\,\,\,{I}_{2}\leq -A\,\,\,\,\,cela\,pour\,tout\,A>0 \,\Rightarrow \,\,{I}_{2}=-\infty \,\,\,\,par\,suite\,I=-\infty [/tex]
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#7 25-06-2011 10:15:38
- Groupoid Kid
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Re : integrale impropre
Salut Mstafa !
Tu as raison, la limite de l'integrand en 1 est infinie. Mais ça ne l'empêche pas du tout d'être intégrable ! Pense à la fonction [tex]x\mapsto\sqrt{x}[/tex] en 0 par exemple ;-)
La faille dans ton raisonnement est que tu n'as pas pris en compte l'amplitude de l'intervalle :
[tex]\int^{1}_{\eta}\frac{\ln \left(1-{t}^{2}\right)}{{t}^{2}}dt\leq -\boxed{(1-\eta)}A[/tex]
Et même si [tex]A\to -\infty[/tex], [tex]\eta\to 1[/tex] encore plus vite. D'où la nécessité de cherche un équivalent au voisinage de 1 pour lever l'indetermination observée ici.
Cette intégale est une classique du genre, il est de notoriété publique qu'elle converge, et comme l'a indiqué fuxi sa somme est -2ln(2) :-)
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#8 26-06-2011 16:33:54
- Mstafa
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Re : integrale impropre
Merci Groupoid Kid !
[tex]Tu\,as\,tout\,à\,fait\,raison\,j'ai\,oublier\,le\,\left(1-\eta\right)[/tex] [tex]et\,\int^{1}_{0}\frac{\ln \left(1-{t}^{2}\right)}{{t}^{2}}dt\,\,\,\,\,est\,bien\,convergente\,au\,vois\,de\,1.[/tex]
[tex]En\,\,effet\,on\,sait\,que\,\,\,\,\,\frac{\ln \left(1-{t}^{2}\right)}{{t}^{2}}\,=\,\frac{\ln \left(1-t\right)}{{t}^{2}}+\frac{\ln \left(1+t\right)}{{t}^{2}}\,\,\,[/tex]
[tex]l'integrale\,du\,2eme\,thèrme\,est\,convergente\,au\,vois. de\,1[/tex]
[tex]pour\,le\,premier\,on\,sait\,que\, Li{m}_{t\rightarrow {1}^{-}}\left[{\left(1-t\right)}^{\frac{1}{2}}\frac{\ln \left(1-t\right)}{{t}^{2}}\right]=0\,[/tex] [tex]car\,le\,{\left(1-t\right)}^{\frac{1}{2}}\,domin e\,au\,vois\,de\,1.[/tex]
[tex]\Rightarrow \,\,pour\,t\,assez\,proche\,de\,1\,\left|{\left(1-t\right)}^{\frac{1}{2}}\frac{\ln \left(1-t\right)}{{t}^{2}}\right|<\frac{1}{2}\,\,\,[/tex]
[tex]\Rightarrow \,\,\left|\frac{\ln \left(1-t\right)}{{t}^{2}}\right|<\frac{1}{2{\left(1-t\right)}^{\frac{1}{2}}}\,\,\,cela\,pour\,t\,assez\,pertit[/tex]
[tex]\int^{1}_{0}\frac{1}{2{\left(1-t\right)}^{\frac{1}{2}}}dt\,étant\,convergante\,\left(car\,\frac{1}{2}<1\right)\, \Rightarrow \,\int^{1}_{0}\frac{\ln \left(1-t\right)}{{t}^{2}}dt\,est\,convergente[/tex]
[tex]Par\,suite\,\,\,\,\int^{1}_{0}\frac{\ln \left(1-{t}^{2}\right)}{{t}^{2}}dt\,\,\,\,est\,convergente\,au\,vois\,de\,1[/tex]
Dernière modification par Mstafa (26-06-2011 18:45:23)
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#9 26-06-2011 18:42:05
- Mstafa
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Re : integrale impropre
Calculons la primitive [tex]F\left(x\right)\,=\int^{}_{}\frac{\ln \left(1-{t}^{2}\right)}{{t}^{2}}dt\,[/tex]
[tex]On\,a\,F\left(x)\right)=\int^{}_{}\frac{\ln \left(1-{t}^{2}\right)}{{t}^{2}}dt[/tex]
[tex]=[/tex] [tex]\int^{}_{}{\left(\frac{-1}{t}\right)}^{'}\ln \left(1-{t}^{2}\right)[/tex]
[tex]=\frac{-\ln \left(1-{t}^{2}\right)}{t}+\int^{}_{}\frac{-2t}{t\left(1-{t}^{2}\right)}dt[/tex]
[tex]=\frac{-\ln \left(1-{t}^{2}\right)}{t}+\int^{}_{}\frac{-2dt}{\left(1-{t}^{2}\right)}[/tex]
[tex]=\frac{-\ln \left(1-{t}^{2}\right)}{t}-\int^{}_{}\left(\frac{1}{1-t}+\frac{1}{1+t}\right)dt[/tex]
[tex]=-\frac{\ln \left(1-{t}^{2}\right)}{t}+\ln \left(1-t\right)-\ln \left(1+t\right)[/tex]
[tex]=-\frac{\ln \left(1-t\right)}{{t}^{2}}-\frac{\ln \left(1+t\right)}{{t}^{2}}+\ln \left(1-t\right)-\ln \left(1+t\right)[/tex]
[tex]=-\frac{\ln \left(1-t\right)-t\ln \left(1-t\right)}{{t}^{2}}-\frac{\ln \left(1+t\right)}{{t}^{2}}-\ln \left(1+t\right)[/tex]
[tex]=-\frac{\left(1-t\right)\ln \left(1-t\right)}{{t}^{2}}-\frac{\ln \left(1+t\right)}{{t}^{2}}-\ln \left(1+t)\right)[/tex]
[tex]Donc\,{\lim }_{t\rightarrow {1}^{-}}F\left(x)=0\,-\,\ln \left(2\right)\,-\,\ln \left(2\right)\,=\,-2\ln \left(2\right)[/tex]
[tex]Aussi\,{\lim }_{t\rightarrow {0}^{+}}F\left(x)\right)=0[/tex]
[tex]Par\,suite\,\int^{1}_{0}\frac{\ln \left(1-{t}^{2}\right)}{{t}^{2}}dt=-2\ln \left(2\right)[/tex]
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#10 12-07-2011 15:36:00
Re : integrale impropre
Bonjour à tous!
salut Mstafa
Calculons la primitive [tex]F\left(x\right)\,=\int^{}_{}\frac{\ln \left(1-{t}^{2}\right)}{{t}^{2}}dt\,[/tex]
[tex]On\,a\,F\left(x)\right)=\int^{}_{}\frac{\ln \left(1-{t}^{2}\right)}{{t}^{2}}dt[/tex]
[tex]=[/tex] [tex]\int^{}_{}{\left(\frac{-1}{t}\right)}^{'}\ln \left(1-{t}^{2}\right)[/tex]
[tex]=\frac{-\ln \left(1-{t}^{2}\right)}{t}+\int^{}_{}\frac{-2t}{t\left(1-{t}^{2}\right)}dt[/tex]
[tex]=\frac{-\ln \left(1-{t}^{2}\right)}{t}+\int^{}_{}\frac{-2dt}{\left(1-{t}^{2}\right)}[/tex]
[tex]=\frac{-\ln \left(1-{t}^{2}\right)}{t}-\int^{}_{}\left(\frac{1}{1-t}+\frac{1}{1+t}\right)dt[/tex]
[tex]=-\frac{\ln \left(1-{t}^{2}\right)}{t}+\ln \left(1-t\right)-\ln \left(1+t\right)[/tex]
A partir de ce niveau tu as changé t en t^2, je ne comprends pas d'où vient ce carré[tex]=-\frac{\ln \left(1-t\right)}{{t}^{2}}-\frac{\ln \left(1+t\right)}{{t}^{2}}+\ln \left(1-t\right)-\ln \left(1+t\right)[/tex]
[tex]=-\frac{\ln \left(1-t\right)-t\ln \left(1-t\right)}{{t}^{2}}-\frac{\ln \left(1+t\right)}{{t}^{2}}-\ln \left(1+t\right)[/tex]
[tex]=-\frac{\left(1-t\right)\ln \left(1-t\right)}{{t}^{2}}-\frac{\ln \left(1+t\right)}{{t}^{2}}-\ln \left(1+t)\right)[/tex][tex]Donc\,\lim _{t\to {1}^{-}} F\left(x\right)=0\,-\,\ln \left(2\right)\,-\,\ln \left(2\right)\,=\,-2\ln \left(2\right)[/tex]
[tex]Aussi\,\lim_{t\to {0}^{+}}F\left(x)\right)=0[/tex]
[tex]Par\,suite\,\int^{1}_{0}\frac{\ln \left(1-{t}^{2}\right)}{{t}^{2}}dt=-2\ln \left(2\right)[/tex]
En tout cas c'est un bon boulot que tu as fait!!!!
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#11 13-07-2011 00:27:54
- Mstafa
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Re : integrale impropre
Bonjour tout le monde,
Merci Tsaloum, C'est vrai c'est une erreur de calcul au lieu de [tex] t^2[/tex] c'est un [tex]t[/tex]
et pour corriger la preuve sera ainsi :
Calculons la primitive [tex]F\left(x\right)\,=\int^{}_{}\frac{\ln \left(1-{t}^{2}\right)}{{t}^{2}}dt\,[/tex]
[tex]On\,a\,F\left(x\right)=\int^{}_{}\frac{\ln \left(1-{t}^{2}\right)}{{t}^{2}}dt[/tex]
[tex]=[/tex] [tex]\int^{}_{}{\left(\frac{-1}{t}\right)}^{'}\ln \left(1-{t}^{2}\right)[/tex]
[tex]=\frac{-\ln \left(1-{t}^{2}\right)}{t}+\int^{}_{}\frac{-2t}{t\left(1-{t}^{2}\right)}dt[/tex]
[tex]=\frac{-\ln \left(1-{t}^{2}\right)}{t}+\int^{}_{}\frac{-2dt}{\left(1-{t}^{2}\right)}[/tex]
[tex]=\frac{-\ln \left(1-{t}^{2}\right)}{t}-\int^{}_{}\left(\frac{1}{1-t}+\frac{1}{1+t}\right)dt[/tex]
[tex]=-\frac{\ln \left(1-{t}^{2}\right)}{t}+\ln \left(1-t\right)-\ln \left(1+t\right)[/tex]
[tex]=-\frac{\ln \left(1-t\right)}{{t}}-\frac{\ln \left(1+t\right)}{{t}}+\ln \left(1-t\right)-\ln \left(1+t\right)[/tex]
[tex]=-\frac{\ln \left(1-t\right)-t\ln \left(1-t\right)}{{t}}-\frac{\ln \left(1+t\right)}{{t}}-\ln \left(1+t\right)[/tex]
[tex]=-\frac{\left(1-t\right)\ln \left(1-t\right)}{{t}}-\frac{\ln \left(1+t\right)}{{t}}-\ln \left(1+t)\right)[/tex]
Donc [tex]\,\lim_{t \to {1}^{-}} F\left(x\right)=0\,-\,\ln \left(2\right)\,-\,\ln \left(2\right)\,=\,-2\ln \left(2\right)[/tex]
[tex]Aussi\,{\lim }_{t\rightarrow {0}^{+}}F\left(x)\right)=0[/tex]
[tex]Par\,suite\,\int^{1}_{0}\frac{\ln \left(1-{t}^{2}\right)}{{t}^{2}}dt=-2\ln \left(2\right)[/tex]
Merci pour la remarque.
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