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mathieu64

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Axiome de fondation

Bonjour,

Je n'arrive pas à comprendre la conséquence de l'axiome suivant:

[tex]\forall x  [(x \neq \varnothing) \Rightarrow \exists y ((y\in x) \land (y \cap x= \varnothing))
$Conséquence: Cet axiome interdit $ x \in x$.En effet si nous supposons $ x\in x $ alors $ \{x\} $ contredit l'axiome:$
\{x\} \neq \varnothing $ et pour tout $ y \in \{x\} $ (nécessairement y=x) $ y \cap \{x\} = \{x\} \neq \varnothing[/tex]

Ce qui me gène c'est  [tex]y \cap \{x\} = \{x\} \neq \varnothing[/tex] Quand on fait l'intersection de 2 ensembles on prend bien les éléments communs de chacun des ensembles. Or ici, j'ai l'impression que d'un côté on a l'élément x et de l'autre les éléments de l'ensemble x donc je ne comprends pas le résultat de cette intersection.

Merci d'avance.

Dernière modification par mathieu64 (14-06-2011 15:02:31)

Groupoid Kid

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Re : Axiome de fondation

Salut mathieu !

Une intersection avec un singleton, c'est pourtant simple ;-)

Il n'y a que deux sous-ensembles de [tex]\{x\}[/tex], à savoir [tex]\{x\}[/tex] lui-même et [tex]\varnothing[/tex]. Le résultat de l'intersection ne peut donc être que l'un des deux.

Or on a pris comme hypothèse que l'élément x était dans l'ensemble x=y, donc l'intersection avec [tex]\{x\}[/tex] est non vide :-)

mathieu64

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Re : Axiome de fondation

Désolé j'ai juste un peu de mal à comprendre que x inter {x}={x}.  Dans ce cas je vois pas bien la différence entre x et {x}.Pour moi x veut dire l'ensemble contenant les éléments de l'ensemble x et {x} veut dire l'ensemble dont l'unique élément est l'ensemble x. Et dans ce cas comme les éléments de ces 2 ensembles ne sont pas de même nature j'aurais dit que leur intersection est vide.
Si tu peux me redonner un petit coup de pouce pour changer cette vision fausse...

En tout cas merci bien Groupoïd.

Dernière modification par mathieu64 (16-06-2011 22:58:51)

Groupoid Kid

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Re : Axiome de fondation

C'est ce qui arrive quand on fait le malin à vouloir considérer des ensembles qui sont éléments d'eux-mêmes ^^

Ne t'en fais pas, c'est juste une gymnastique mentale à laquelle il faut s'habituer. La différence entre x et {x} est évidente : {x} contient un unique élément, l'élément x, tandis que l'ensemble x contient a priori beaucoup d'éléments, mais on a fait l'hypothèse que l'un d'entre eux était x lui-même (en tant qu'élément). Donc ici x et {x} admettent l'élément x en commun.
Je ne peux évidemment pas te donner d'exemple (le but du jeu étant de démontrer qu'il n'y en a justement pas), mais voilà de quoi te faire une idée : si je prends x={0,{1}}, alors [tex]x\cap\{0\}=\{0\}[/tex]. Et pour rire un peu : [tex]x\cap\{1\}=\varnothing[/tex], et [tex]x\cap\{\{1\}\}=\{\{1\}\}[/tex].

Je pense que tu devrais trouver des réponses à tes questions dans la construction standard des ordinaux. (Désolé, j'ai pas trouvé de meilleur lien). En particulier, le suivant de chaque ordinal est obtenu en lui adjoignant lui-même comme majorant strict.

mathieu64

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Re : Axiome de fondation

Ah ça y est j'y suis merci de ta patience mais effectivement j'avais pas du tout pris en compte l'hypothèse, surement parce qu'elle me paraissait bizarre. Effectivement comprendre la construction de N c'est mon but mais actuellement je ne vois toujours pas pourquoi N a posé un problème sur son existence. De même le genre de question existe t il un ensemble de tous les ensembles c'est pas mal abstrait. Quand j'ai vu la question j'ai vite eu envie de répondre si il existait alors pourquoi pas en construire un autre qui contiendrait le soit disant ensemble de tous les ensembles avec les éléments en plus de l'ensemble précèdent. Donc on a l'impression qu'on peut toujours l'agrandir ce qui j'ai l'impression contrarie un peu la chose. Cependant si la démonstration est un peu foireuse je pense que c'est parce que le principe de récurrence n'est pas prouvé à ce stade.

Pour conclure il y a encore pas mal de mystère sur le sujet pour moi.
Merci et à la prochaine

Dernière modification par mathieu64 (17-06-2011 09:29:24)