Forum de mathématiques - Bibm@th.net

imed

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Groupe Symétrique

Bonjour,

Je pars à la retraite dans quelques mois... Pour retarder la défaillance cognitive (Alzheimer...) j'ai décidé de me remettre aux Maths. Surtout que ça me rappelle ma jeunesse quand j'étais en prépa au LLG.
Ainsi, j'ai besoin de vos jeunes et brillants esprits pour me rafraichir la mémoire. Attention, je manque de souplesse aux mains (maladie de Parkinson) alors mes message sont trés abrégés (je m'en excuse).

ma 1ére question:
Comment parle t on du groupe symetrique alors que la loi de composition des permutations n'est pas commutative?

Merci

Groupoid Kid

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Re : Groupe Symétrique

Salut à toi imed :-)

J'avoue ne pas comprendre exactement ta question. Si tu te demandes d'où vient ce nom, il me sembe que le groupe symétrique --ainsi que toute la théorie des groupes d'ailleurs-- est né lorsque Galois et cie étudiaient les équations algébriques, et permutaient les racines des polynômes. Je ne sais pas comment ça s'exprimait à l'époque, mais aujourd'hui on obtiendrait un morphisme de corps (une symétrie au sens algébrique donc, comme la conjugaison complexe) en permutant certains générateurs du corps de décomposition de l'équation polynôme. Ces symétries étaient fondamentales à l'époque pour répondre à diverses questions, comme par exemple : trouver d'autres polynômes symétriques définis sur un corps de décomposition donné (i.e. invariants par permutations des générateurs), ce qui revient en fait trouver les facteurs irréductibles du polynôme de départ en étudiant les cycles de racines. Désolé, je me suis quelque peu laissé embarquer dans la technique ^^
Attention à cette interprétation : le groupe obtenu en permutant les racines d'un polynôme pris au hasard ne sera PAS le groupe symétrique tout entier, à moins que ce polynôme soit lui-même irréductible.

D'après ta tournure de phrase, on pourrait aussi croire que tu fais une opposition entre "symétrie" et "non commutatif". Mais les symétries ne commutent pas entre elles ! En fait, une façon géométrique de se représenter les groupes des permutations à n éléments est de penser aux symétries (euclidiennes) du (n-1)-simplexe régulier dans [tex]\mathbb{R}^{n-1}[/tex] : le triangle équilatéral donne [tex]\mathfrak{S}_3[/tex], le tétraèdre régulier donne [tex]\mathfrak{S}_4[/tex], etc.

J'espère avoir répondu à tes interrogations :-)

Cordialement,
GK

imed

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Re : Groupe Symétrique

Merci Kid, j'avoue que c'est encore flou.

Tu as dit : ": le groupe obtenu en permutant les racines d'un polynôme pris au hasard ne sera PAS le groupe symétrique tout entier"

on parle d'un groupe (muni d'une loi commutative):

-est ce le groupe des permutations muni de la loi de composition (qui n'est pas commutative....)
-ou bien groupe des racines!!! muni de quelle loi?
- ou alors nous sommes victimes d'un abus de langage

Merci, encore de ta patience

imed

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Re : Groupe Symétrique

Salut Kid, Excuse moi, je ne sais plus où me mettre
je viens de m'appercevoir qu'un groupe n'est pas nécessairement commutatif. j'étais convaincu du contraire...

il va falloir  réviser mon cours avant de poser des questions idiotes.

discussion à fermer et à oublier.