Forum de mathématiques - Bibm@th.net
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#1 31-05-2011 16:29:34
- Michel
- Invité
Fonction et intégrale
Bonjour,
j'ai quelques difficultés à résoudre cette exercice:
Soit f une bijection de [tex]\mathbb{R}^+[/tex] dans lui-même qui est continue. Montrer que pour tout couple (a,b) de réels positifs ou nuls on a:
[tex]ab\,\leq \,\int^{a}_{0}f\,+\,\int^{b}_{0}{f}^{-1}[/tex]
Si quelqu'un peut m'aider, merci d'avance.
#2 31-05-2011 20:42:20
- Groupoid Kid
- Membre
- Lieu : Entre les catégories Gpd et HS
- Inscription : 09-02-2011
- Messages : 155
Re : Fonction et intégrale
Il te suffit de te poser ces deux questions :
- Comment trouve-t-on la courbe représentative d'une fonction réciproque ?
- Géométriquement, à quoi correspondent ces deux intégrales ?
Et la réponse devrait s'ensuivre :-)
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#4 02-06-2011 00:51:59
- MOHAMED_AIT_LH
- Invité
Re : Fonction et intégrale
Bonsoir,
il y'a cependant la question de l'intégrabilité de [tex]f^{-1}[/tex] à préciser.
En effet l'énoncé parle de bijection continue. Si le cours dit que [tex]f^{-1}[/tex] est continue, c'est Ok; sinon il faut prouver que [tex]f^{-1}[/tex] est continue avant de répondre à la question (je veux dire, l'énocé doit comprendre cette question ou au moins admettre le résultat)
#6 02-06-2011 15:15:19
- MOHAMED_AIT_LH
- Invité
Re : Fonction et intégrale
Au lieu de parler des chiens, parlons des mathématiques et montre moi la confusion que je fais ici.
#7 02-06-2011 21:45:33
- freddy
- Membre chevronné
- Lieu : Paris
- Inscription : 27-03-2009
- Messages : 7 457
Re : Fonction et intégrale
Salut,
tout simple : si f est une bijection continue sur R+, elle l'est en particulier sur un segment I, alors sa réciproque est aussi continue sur J=f(I). On peut toujours faire en sorte que J=[0,b].
La suite se conclut d'elle même. Donc inutile de sortir un canon de 105 pour écraser une ombre d'embryon de larve de mouche posée sur le bout de la queue d'un chien.
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#8 02-06-2011 22:08:26
- MOHAMED_AIT_LH
- Invité
Re : Fonction et intégrale
Salut,
Pour un segment, on donne un théorème concernant les fonctions continues strictement monotones.
A ma connaissances , les cours (niveau bac, 1ere année et 2emme année sup) ne donnent pas le thm concernant les bijections continues.
C'est vrai en fait que si f est une fonction continue sur un intervalle I et si f est injective alors f est strictement monotone sur I, dés lors le thm donné dans le cours s'applique.
La preuve n'est pas immédiate... c'est pour cela que j'ai fait ma remarque.
Mon but n'était pas de compliquer les choses mais d'attire l'attention sur cette question : avnt d'intégrer une fonction il faut s'assurer qu'elle est intégrable.
Justement , est ce que les programmes adoptés en France donnent le théorème suivant :
Si f est continue sur [a,b] et si f est bijective de [a,b] vers [a,b] alors sa réciproque est continue sur f([a,b]).
Si la réponse est oui ça rentre dans mon 'OK' là dessus.
Si c'est non alors le pb se pose ...
#9 02-06-2011 22:12:45
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 352
Re : Fonction et intégrale
Hello,
Oui, ils le donnent, disons en deux temps.
Temps 1 : Si f est continue, strictement monotone, elle réalise une bijection de I sur f(I) et sa réciproque est continue.
Temps 2 : Si f est continue, elle est injective si et seulement si elle est strictement monotone....
Fred.
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#10 02-06-2011 22:19:35
- MOHAMED_AIT_LH
- Invité
Re : Fonction et intégrale
Salut
Merci Fred pour cette précision.
En effet je trouve souvent cet exercice dans les feuilles d'exercices sur la continuité: démontrer que si f est continue injective alors f est strictement monotone, ce qui me pousse à croire que cela ne figure pas dans les cours.
Dans mon intervention , j'ai fait cette hypothèse (en disant si le cours dit que ..)
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