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#1 23-05-2011 22:27:28
- tatouuotat
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Methode des moindres carres, minimisation.
Bonsoir a vous amis mathematiciens,
Je vous lance un SOS en effet je bute sur un probleme je ne vois pas la marche a suivre. Voici donc le dur a cuire:
"Trouver le polynome p(x) de degre inferieur ou egal à 2 qui minimise l'expression (pardonnez pour l'expression a suivre j'ai pas encore pu me mettre au code latex :/) suivante:
S (1/(1+x²) - p(x))²dx où S est l'integrale de -1 a 1."
En vous remerciant d'avance.
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#2 23-05-2011 23:08:00
- freddy
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Re : Methode des moindres carres, minimisation.
Salut,
si tu veux minimiser [tex]I(a,b,c)=\int_{-1}^{+1}\left(\frac{1}{1+x^2}-(ax^2+bx+c)\right)^2dx[/tex],
tu vois bien que tout revient à calculer l'intégrale puis à trouver le min par rapport aux paramètres (a,b,c), soit une fonction numérique à trois variables réelles, ou bien à minimiser sans calculer de prime abord l'intégrale, certaines pptés vérifiées devraient te le permettre.
Il n'y a plus qu'à ... , non ?
Bon courage, et reviens nous voir si besoin !
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#3 23-05-2011 23:37:30
- tatouuotat
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Re : Methode des moindres carres, minimisation.
Ben justement mon probleme c'est que j'arrive plus a minimser c'est d'autant plus rageant que j'ai corrige l'exo devant la classe..puis la au momant de reviser le partiel gros trous noir..:/
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#4 24-05-2011 08:01:39
- freddy
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Re : Methode des moindres carres, minimisation.
Re,
je te laisse le soin de calculer l'intégrale I(a,b,c).
Ensuite, la condition nécessaire pour qu’un extrémum existe est que les 3 dérivées partielles par rapport aux variables (a,b,c) soient nulles.
Ensuite, une petite vérification sur les dérivées partielles secondes s'impose ... ou bien tu remarques que I(a,b,c) est positive ou nulle quelles que soient les valeurs du triplet (a,b,c) !
Allez, courage, ce n'est pas très difficile (une piste : sauf erreur, b est nul !)
Dernière modification par freddy (24-05-2011 10:41:23)
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#6 24-05-2011 19:18:47
Re : Methode des moindres carres, minimisation.
Salut,
Une autre manière de procéder est de remarquer que l'intégrale à calculer est une distance dans l'espace des fonctions continues sur [-1,1], munie du produit scalaire usuel. (Si tu ne vois pas ce que je veux dire, je te donnerai plus de détails.)
Mais comme il faut de toute façon calculer l'intégrale...
A+
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#7 25-05-2011 09:36:47
- JJ
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Re : Methode des moindres carres, minimisation.
Il n'y a pas besoin de calculer l'intégrale I(a,b,c) telle qu'elle est au départ.
En effet, on doit avoir :
dI/da=0
dI/db=0
dI/dc=0
Ces dérivations font disparaitre la puissance 2 de l'expession figurant dans l'intégrale.
Il ne reste à intégrer que les trois fonctions suivantes, ce qui est beaucoup plus simple :
(x/(1+x²) -ax²-bx-c)x²
(x/(1+x²) -ax²-bx-c)x
(x/(1+x²) -ax²-bx-c)
et égaler à 0 les résultats respectifs, ce qui donne trois équations linéaires dont les inconnues sont a, b et c.
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#8 25-05-2011 10:48:48
- Augustin
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Re : Methode des moindres carres, minimisation.
Bonjour,
On peut aussi se faire une idée graphique de la parabole qui minimise au mieux : C'est de mieux en mieux vers la droite.
à gauche a+c=0.5, au milieu : c=1, à droite : optimisation de a et c.
Rien ne vaut de résoudre bien sûr, merci de publier vos calculs d'intégrales et vos résultats pour a et c
Cordialement.
Dernière modification par Augustin (25-05-2011 18:59:17)
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#9 25-05-2011 11:02:18
- freddy
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Re : Methode des moindres carres, minimisation.
Re,
toujours sous réserve qu'il n'y ait pas d'erreur de calcul, on devrait avoir [tex]a=\frac{15}{4}\times (3- \pi)[/tex]
Dernière modification par freddy (25-05-2011 16:13:43)
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#10 25-05-2011 14:21:00
- freddy
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Re : Methode des moindres carres, minimisation.
Re,
[tex]I(a,b,c)=\int_{-1}^{+1}\left(\frac{1}{1+x^2}-(ax^2+bx+c)\right)^2dx=\frac25\times a^2+a\left(\frac43\times c+\pi-4\right)+\frac23\times b^2+2c^2 -\pi c +\frac14\times \left(\pi+2\right)[/tex]
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#11 25-05-2011 15:41:09
- Augustin
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Re : Methode des moindres carres, minimisation.
Bonjour,
avec [tex] c =\frac{6\pi-15}{4}[/tex], la résolution graphique (de droite) est OK à [tex]10^{-4}[/tex] près pour a et c.
Merci pour les valeurs exactes (juste revoir le signe de a qui est <0)
Reste à calculer l'intégrale pour qui voudrait aller au fond des calculs...
cordialement
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#13 25-05-2011 19:09:21
- Augustin
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Re : Methode des moindres carres, minimisation.
Bonsoir,
@freddy : Pour vos résultats y compris numériques, c'est parfait, merci.
qand j'écrivais :"Reste à calculer l'intégrale pour qui voudrait aller au fond des calculs...", je pensais "retrouver le résultat textuel post #10", à moins de suivre jj post #7
Cordialement
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