Forum de mathématiques - Bibm@th.net

xixa

Membre

Inscription : 23-05-2011

Messages : 2

Trigonalisation hors programme psi

Merci de m'aider à trigonaliser pour répondre à cette Question , en effet , comme c hors programme , je dois expliciter la base dans la quel A est trigonalisable .

MOHAMED_AIT_LH

Invité

Re : Trigonalisation hors programme psi

Bonsoir,

Je reproduit  ta  question  ici (c'est plus pratique):

Soient [tex] n \in {\mathbb N} \backslash \{0,1\} [/tex], [tex]A \in {\mathcal M}_n({\mathbb C})[/tex] tel que [tex]\text{rg}(A)=2[/tex] et [tex]\text{tr}(A)=0[/tex], [tex]A^n \neq O[/tex]. Montrer que [tex]A[/tex] est diagonalisable dans [tex]{\mathcal M}_n({\mathbb C})[/tex]

MOHAMED_AIT_LH

Invité

Re : Trigonalisation hors programme psi

Bonsoir,

Tu n'as pas besoin de  trigonaliser
Si  tu  as  la  proposition  qui  dit  :  Toute  matrice  de  [tex]M_n({\mathbb C)}[/tex] est  trigonalisable, ça te  suffira.
La  matrice  en  question  est  trigonalisable
1ER cas  n=2, A  est  inversible donc  elle a  deux  valeurs  propres non  nulles  a  et  b   et  comme  sa  trace  est nulle  on  a   b=-a   donc   [tex] a  \neq  b [/tex] ....tu  termines

2EM cas: [tex] n \geq 3[/tex],  alors  compte  tenu  de   rg(A)=2 , 0  est  une  valeur  propre  de  A
La  dimension  du  sous-espace  propre  [tex]E_0  = \ker A[/tex] est  connue  vus  les  hypothéses
0 n'est   pas  la  seule  valeur propre( c'est  important et je  te lasses le  soin  de  le  justifier : utilises bien les  données  de  l'exo)
Alors  il  y a   deux autres   valeurs  propres  a   et  b    tel  que  a+b=0 (trace)
Tu prouves  que  a  et  b  sont distictes  et  tu conclus (cf  ton  cours  au  besoin)