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Curieuse

Invité

résolution d'une EDP

Bonjour,
Je voudrai résoudre une équation aux dérivées partielles de type diffusion-convection:[tex]{\partial }_{t}c+\,div\left(-D\,grad\,c\right)+div\left(c.\overrightarrow{u}\right)=0[/tex]  avec D une matrice diagonale définie positive et u un vecteur constant donné.

Je note  [tex]{c}_{1}[/tex]  une solution de  l'equation  [tex]{\partial }_{t}c+\,div\,\left(c\overrightarrow{.u}\right)=0[/tex] et  [tex]{c}_{2}[/tex]  une solution de  [tex]div\left(-D\,\nabla c\right)=0[/tex] 

Est ce qu'une combinaison linéaire [tex]\alpha \,{c}_{1}+\,\beta \,{c}_{2}[/tex]  (a.c1+b.c2) est une solution de l'équation globale?

Merci d'avance.

Groupoid Kid

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Re : résolution d'une EDP

Salut à toi

Poses-toi cette question : les opérateurs de cette équation sont-ils linéaires ? (dérivation, gradient, produit scalaire, etc). Il me semble que la réponse s'ensuit ;-)

Curieuse

Invité

Re : résolution d'une EDP

Soit F et G deux opérateurs linéaires. On a F(u)=0  et G(v)=0. Alors (F+G) (u+v)= F(v)+G(u) et n'est pas nécéssairement nulle.

Groupoid Kid

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Re : résolution d'une EDP

Ah pardon, ma faute, j'ai lu trop vite :S

Dans ce cas il me semble que la réponse est non en général. Si je prends [tex]c_1[/tex] ou [tex]c_2[/tex] nul, tu es en train de demander si être solution d'une des deux sous-équations implique d'être solution de l'autre.

Regardons ce que ça donne avec une seule dimension : une fonction c vérifie [tex]\partial_x^2c=0[/tex] ssi elle est de la forme c(x,t)=a(t)x+b(t). Pour une telle fonction, la première sous-équation signifie que [tex]\dot{a}x+\dot{b}+ua=0[/tex]. Et là c'est fichu : si je prends [tex]c_2=t[/tex] tout simplement, [tex]0\cdot c_1 + 1\cdot c_2[/tex] n'est pas solution de ton équation de départ.

Du moins si j'ai pas fait de bêtises cette fois-ci ^^

EDIT : renommage des équations pour plus de clarté.

Dernière modification par Groupoid Kid (22-05-2011 13:04:07)

Curieuse

Invité

Re : résolution d'une EDP

Merci pour ta réponse, mais je pense qu'il y a une petite erreur de calcul concernant une solution de l'équation d'advection.

Si je note (1) l'équation  [tex]{\partial }^{2}_{x}c=0[/tex] une solution serait  [tex]{c}_{1}=a\left(t\right)x+b\left(t\right)[/tex] .
Je note maintenant (2) l'équation  [tex]{\partial }_{t}c+u\,{\partial }_{x}c=0[/tex] une solution serait  [tex]{c}_{2}=u.t-x[/tex] .

Maintenant, si  [tex]w={c}_{1}+{c}_{2}[/tex] on a:
[tex]{\partial }_{t}w+{\partial }^{2}_{x}w+{u.\partial }_{x}w=\left({d}_{t}a.\,x+{d}_{t}b+u\right)+0+u.\left(a\left(t\right)-1\right) ={d}_{t}a\,.x+{d}_{t}b+u.\,a\left(t\right)[/tex]

Je pense qu'effectivement, cette quantité n'est pas toujours nulle!!!
Est ce que tu connais une méthode pour construire une solution de l'équation de diffusion-convection?

Groupoid Kid

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Re : résolution d'une EDP

Salut Curieuse

Non, il n'y a pas de fautes dans mes calculs, ni dans les tiens d'ailleurs. Simplement, je répondais à la question : "si je fixe c_1 et c_2 [...] leurs combinaisons linéaires sont-elles TOUTES solutions de (EDP) ?". La réponse est non, pour les raisons que j'ai évoquées : si c'est vrai alors c_1 et c_2 sont toutes deux solutions à la fois de (1) ET (2).

Maintenant je comprends ce que tu voulais faire : trouver UNE combinaison linéaire qui soit solution... ce qui requiert a priori de bien choisir [tex]c_1,\,c_2,\,\alpha\text{ et }\beta[/tex]. Sachant que (1) est juste un Laplacien et (2) l'équation de conservation, donc bien connues, c'est habilement raisonné.

Si tu veux juste DES solutions, en cherchant les solutions communes à (1) et (2) tu en trouveras (par exemple ut-x en dim 1, ça marche). Si ta question est "quelle est la forme générale des solutions de cette équation", j'avoue que je n'en ai aucune idée, il faudra attendre un spécialiste pour te répondre.