Forum de mathématiques - Bibm@th.net
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#2 19-05-2011 14:11:29
- Groupoid Kid
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Re : différentiabilité fonction maximum
Salut à toi Inou
En fait faismesdevoirs.com c'est le site d'à côté, ici si tu veux de l'aide tu vas devoir expliquer ce que tu as déjà fait de ton côté avant de venir poser ta question. En particulier, commencer par étudier la différentiabilité avant d'essayer de différentier, ça peut être utile...
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#3 19-05-2011 16:18:14
- inou007
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Re : différentiabilité fonction maximum
salut!
je ne t'ai pas demander de faire mes devoirs d'autant plus que ça fait un bail que je n'ai pas de devoirs à avoir!! j'ai une jacobienne à calculer pour inverser une matrice et un des termes à différencier par rapport à j pour obtenir cette matrice est max(0,j(i)) avec j une fonction continue, le tout est différentiable partout sauf en 0! comment fais je en ce point d'autant plus que je suis entrain de programmer une solution et que la non différentiabilité en zéro est plutôt mal venue!
voilà merci de votre aide!
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#4 19-05-2011 16:54:36
- freddy
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Re : différentiabilité fonction maximum
Salut james bond !
c'est difficile de nous expliquer ton pb plutot que de "jeter" un gars qui est dans la catégorie "super crack" et capable de t'aider à résoudre ton pb ?
je pense que tu as raté une bonne occasion de montrer que tu étais bien élevé.
Ciao bello !
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#5 19-05-2011 17:16:22
- Groupoid Kid
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Re : différentiabilité fonction maximum
@ freddy : à sa décharge, je n'ai pas non plus été très poli ^^
Mes excuses alors Inou ^^ Mais au moins maintenant j'ai matière à te répondre ;-)
Tâchons de mettre les choses à plat. Tu as une fonction réelle j dépendant d'une variable i, et tu souhaites différentier max(0,j(i)) (que l'on note en général [tex]j_+(i)[/tex]). Tu n'as pas besoin de la différentielle du max pour ça ! En fait il y a deux possibilités : ou bien à chaque fois que ta fonction j(i) s'annule, elle s'annule en faisant un "plat" c'est-à-dire dj(i)=0, auquel cas j+ est différentiable avec dérivée nulle (mais attention, pas [tex]C^2[/tex] a priori). Ou bien [tex]dj(i)\neq0[/tex] admet au moins une direction dans laquelle elle est non nulle, auquel cas il n'y a rien à faire : la composée n'est pas différentiable, tu ne peux donc pas la différentier. C'est un peu le même principe que la valeur absolue d'une fonction qui s'annule.
Maintenant si la différentielle du max t'intéresse : le max est différentiable partout en dehors de la droite {y=x}, de différentielle dx là où il vaut x (x>y), et dy là où il vaut y (y>x). Là encore, rien à faire le long de {y=x}, il n'y a pas de différentielle.
Si vraiment tu as besoin de différentier dans un mauvais cas, il faudra trouver un substitut à la différentielle qui aura le comportement que tu souhaites.
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#6 19-05-2011 21:29:47
- inou007
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Re : différentiabilité fonction maximum
ok merci Groupoid kid!!
donc en gros ce n'est pas possible de différencier directement je pense que je vais utiliser une jacobienne "approchée" en utilisant des différences finies pour différencier les termes où il y a un point où c'est pas différentiable? sinon tu n'as pas une idée de fonction qui pourrait remplacer max(0,j) et qui n'aurait pas de problème en 0 car c'est possible aussi de faire une telle approximation....
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#7 19-05-2011 23:28:25
- Groupoid Kid
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Re : différentiabilité fonction maximum
Re
Hélas je crois que pour la suite il va falloir que tu te dépatouilles tout seul. Mathématiquement, c'est très facile de pondre des fonctions parfaitement lisses qui approximent aussi près qu'on veut (au sens [tex]C^{\infty}[/tex]) la fonction [tex]x\mapsto max(0,x)[/tex] : avec des suites régularisantes (convolution avec des unités approchées) ou directement bricolage avec des partitions de l'unité. C'est beau, ça a une précision réglable à volonté, mais ça reste très théorique. En compulsant quelques ouvrages de calcul numérique, tu devrais pouvoir trouver des versions implémentables de ce dont je parle, mais je ne pense pas que ça te satisfera.
Là on est plutôt dans le domaine du bidouillage, et il vaut mieux faire ta cuisine toi-même. J'ignore quel phénomène peut annuler ta fonction, et donc quel genre de chose tu cherches à tuer ou au contraire à révéler avec ton max. Ça peut être une piste pour faire ta cuisine. À défaut, l'utilisation des différences finies me semble la meilleure option, ça se rapproche de ce que j'avais en tête (à savoir : faire une moyenne des limites des différentielles). Je pense que ce sera bien plus stable numériquement. Si nécessaire, tu peux pondérer tes différences avec un paramètre de relaxation et l'ajuster pour avoir un comportement qui te plaît mieux.
Bon courage à toi !
GK
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