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Cracky

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Algebre lineaire et imf de s.ev

Bonsoir a tous. Ceci est mon premier message :)

Voici l'ennoncer de l'exercice.

"Soit E=(e1,e2,e3) la base canonique de R^3 et f l'endomorphisme de R^3 définie par :

    f(e1)=e2+e3
    f(e2)=e3+e1
    f(e3)=e1+e2

1) Montrer que f est un automorphisme de R^3

Bon alors la j'ai montré que kerf={0} donc f injective, surjective en appliquant le theoreme du rang. Donc elle est bijective et vu que f est un endomorphisme c'est un automorphisme.

Je pense que la j'ai juste corrigé moi si je me trompe !

2)Determiner les images par f des sous espaces vectoriels

F={(x,y,z)/x+y+z=0)  et G={(x,y,z)/x=y=z}

Je ne vois pas vraiment comment m'y prendre. j'ai globalement du mal avec les imf ou quand il faut trouver une base de Imf alors que pour ker c'est très simple.

Merci d'avance de me mettre sur la voie :)

Dernière modification par Cracky (12-05-2011 21:13:24)

freddy

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Re : Algebre lineaire et imf de s.ev

Salut,

parfait pour le 1) !

Pour le 2), on fait comme suit : si le vecteur u est élément de F, alors [tex]u=xe_1+ye_2+(-x-y)e_3[/tex]

Donc [tex]f(u)=x\times \left(f(e_1)-f(e_3)\right)+y\times \left(f(e_2)-f(e_3)\right)[/tex] Je pense que tu peux finir ...

Idem et plus simple pour le sev G, puisque l'élément v de G s'écrit [tex]v=x\times (e_1+e_2+e_3)[/tex] ...

Dernière modification par freddy (13-05-2011 07:10:24)

Cracky

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Re : Algebre lineaire et imf de s.ev

Salut. Merci pour ta réponse je ne vois toujours pas quels sont images de f ? c'est (f(e1)-f(e3) et f(e2)-f(e3) ?

Car la en faite on a plutot trouver des bases des sev la non ? a savoir ((1,0,-1),(0,1,-1) pour F et (1,1,1) pour G ?

Comme j dis cette notion d'image de f est un peu flou pour moi, alors que trouver une image de matrice la je comprend mieux.

MOHAMED_AIT_LH

Invité

Re : Algebre lineaire et imf de s.ev

Bonjour,

Généralement, si [tex]f : E \to F[/tex] est une application linéaire et  si  [tex]G[/tex] est le  sous-espace vectoriel de [tex]E[/tex] engendré par les vecteurs [tex]u_1,...,u_k[/tex] (avec [tex]k \in {\mathbb N}^*[/tex]),   alors  [tex]f(G)[/tex]  est  exactement le sous-espace vectoriel de [tex]F[/tex] engendré par  les  vecteurs [tex]f(u_1),..., f(u_k))[/tex].
Si [tex](u_1,...,u_k)[/tex]  est  une  base  de [tex]G[/tex]  et  si [tex]f[/tex] est INJECTIVE alors  [tex](f(u_1),...,f(u_k))[/tex]  est  une base de [tex]f(G)[/tex].

Dans  le  cas  de ta question , il  s'agit  d'un isomorphisme, alors tu calcule  les  iamges des vecteurs de la  base du sous-espace  en question et  tu  obtient une base de son image.

Dernière modification par MOHAMED_AIT_LH (13-05-2011 17:27:48)

Cracky

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Re : Algebre lineaire et imf de s.ev

Merci je pense avoir compris :)