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#1 07-05-2011 22:35:02
- chipp
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Linéarisation
Bonsoir à tous je me posais une question, est ce que linéariser reviens à supprimer toutes les puissance pour se retrouver avec une expression de degrès 1?
Une explication d un cher camarade serai la bienvenue ou bien un lien internet sera également utile j ai une vague idée de ce que c est mais faut que je m exerce
Merci a tous
Chipp
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#5 08-05-2011 09:41:46
- chipp
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Re : Linéarisation
Oui assurément mon cher freddy
Une modélisation économique conduit au systeme dynamique suivant:
[tex]{x}^{.}=\,7{x}^{2}-2y+1[/tex]
[tex]{y}^{.}=-x{y}^{1/2}+2{x}^{3}[/tex]
Voila pour l exemple
Merci
Dernière modification par chipp (08-05-2011 09:43:49)
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#6 08-05-2011 10:24:16
Re : Linéarisation
Salut,
Linéariser consiste à supposer de faibles variations de [tex]x[/tex] et [tex]y[/tex] autour de [tex]x_0[/tex] et [tex]x_0[/tex], et donc à utiliser les formules de Taylor pour approximer l'équation différentielle par une équation linéaire et ainsi pouvoir la résoudre.
Va voir ici : http://fr.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9rie_de_Taylor et ici : http://serge.mehl.free.fr/chrono/Taylor.html
Ici, cela donnerait quelque chose du genre :
[tex]x = x_0 + \Delta x[/tex]
[tex]y = y_0 + \Delta y[/tex]
[tex]x_0 + \Delta x = 7 (x_0 + \Delta x)^2 - 2 (y_0 + \Delta y) + 1 = 7 x_0^2 + 14 x_0 \Delta x + o(\Delta x) - 2 y_0 + \Delta y + 1 = (1 + 7 x_0^2 - 2 y_0) + 14 x_0 \Delta x + \Delta y + o(\Delta x) + o(\Delta y)[/tex]
Je te laisse traiter l'autre équation selon le même procédé. On obtient ainsi un système affine que l'on peut ensuite résoudre par les méthodes usuelles pour obtenir une approximation de la solution pour de faibles variations.
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#8 08-05-2011 18:50:34
- freddy
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Re : Linéarisation
Re,
et pourtant, la réponse de thadrien est parfaite et dit ce que tu sous entends dans ta question initiale : "linéariser" revient à "faire tomber" les degrés pour se ramener un un polynôme de degré 1. Et pour ce faire, il faut utiliser la technique des développements limités au voisinage d'un point, que tu arrêtes à l'ordre 1.
Tu vois mieux ?
Dernière modification par freddy (08-05-2011 19:05:55)
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#9 08-05-2011 19:20:58
Re : Linéarisation
J'en profite également pour mettre les équations sous une forme un peu mieux lisible.
Sur celle de chipp, on ne voit pas les signes de dérivation. (Je n'aurai d'ailleurs jamais
deviné leur existence si je n'avais pas vu le mot "dynamique").
[tex]\begin{cases} x'=\,7{x}^{2}-2y+1 \\ y'=-x{y}^{1/2}+2{x}^{3} \end{cases}[/tex]
Un truc pour taper du code TeX : regarder le code source des pages Wikipedia. En regardant
le code source de la page sur les systèmes linéaires, j'ai pu trouver la bonne syntaxe.
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#10 08-05-2011 20:51:19
- freddy
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Re : Linéarisation
Re,
@thadrien : le point sur une variable est la notation classique et standard d'une dérivée première par rapport au temps dans les publications anglo saxonnes.
Donc il n'y a pas d'erreur, car c'est le sens de "système dynamique" aussi bien en physique qu'en analyse économique et en finance (comme en calcul stochastique) : l'introduction du temps.
Bien à toi,
Freddy
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#11 08-05-2011 21:29:53
Re : Linéarisation
Salut,
Je n'ai jamais dit que c'était faux. J'ai dit que c'était illisible. Nuance !
De plus, le point, on doit le mettre au dessus comme dans [tex]\dot{x}[/tex] et non pas en puissance [tex]x^{.}[/tex] comme chipp l'a fait.
Bien à toi,
Hadrien
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#12 08-05-2011 22:42:15
- freddy
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Re : Linéarisation
Salut,
Je n'ai jamais dit que c'était faux. J'ai dit que c'était illisible. Nuance !
De plus, le point, on doit le mettre au dessus comme dans [tex]\dot{x}[/tex] et non pas en puissance [tex]x^{.}[/tex] comme chipp l'a fait.
Bien à toi,
Hadrien
Re,
c'est amusant, je suis bien arrivé à le lire ... Privilège de l'expérience, peut-être ?!
Dors bien !
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#13 08-05-2011 22:56:04
- chipp
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Re : Linéarisation
Un exemple chiffré m aiderai a voir plus clair
J ai trouvé une formule pour linéariser je sais pas si c est la bonne
[tex]L\,\left(x\right)=\,f\,\left(a\right)+{f}^{'}\left(a\right).\,\left(x-a\right)[/tex]
Suffit t il juste d appliquer la formule?
Un exemple chiffré m aiderai à voir mieux
cordialement
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#14 09-05-2011 06:48:42
- Groupoid Kid
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Re : Linéarisation
Hello Chipp
L'exemple chiffré t'a déjà été donné par Hadrien, mais vu ta réaction je suppose que tu ne dois pas bien connnaître les développements limités mentionnés par Freddy.
En considérant la variable 2D [tex]X:=\left[\begin{array}{c}x \\ y\end{array}\right][/tex], tu peux voir ton équation sous cette forme :
[tex]\dot{X}=f(X),\quad \text{avec }f(X)=f(x,y)=\left[\begin{array}{l}7{x}^{2}-2y+1 \\ -x{y}^{1/2}+2{x}^{3}\end{array} \right][/tex]
Les équations qu'on sait bien résoudre, ce sont celles où la fonction f est linéaire. Quand on a une équation non linéaire comme ici, on peut essayer d''approximer [tex]\dot{X}=f(X)[/tex] par [tex]\dot{X}=L(X)[/tex] où L(X) est la fonction dont tu parles. (Note : cette opération n'est intéressante qu'au voisinage des points [tex]a=X_0=(x_0,y_0)[/tex] où f s'annule). La fonction L est le développement limité à l'ordre 1 de la fonction f.
Le calcul qu'a fait Hadrien était le développement limité de la composante en x de f ([tex]f_1(x,y)[/tex]) : à proximité de [tex]a=(x_0,y_0)[/tex], on écrit [tex](x,y)=(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)[/tex] de sorte que [tex]X-a=(\Delta x,\Delta y)[/tex]. On obtient alors :
[tex]f_1(x,y)=f_1(a)+Df_1(a)\cdot(X-a)+o(X-a)=(1 + 7 x_0^2 - 2 y_0) + 14 x_0 \Delta x + \Delta y + o(\Delta x, \Delta y)[/tex]
Pour linéariser on fait comme si le petit o était nul. Il ne te reste plus qu'à faire de même chose pour la seconde composante de f.
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#15 09-05-2011 08:48:35
- chipp
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Re : Linéarisation
Très bien en effet Groupoid kid je ne sais pas utiliser les developpements limités.
Je pensais que ca consistait uniquement à deriver la fonction jusqu a l ordre n qu on nous impose dans une question
par exemple calculer le developpement limité d ordre 2 de [tex]f\left(x\right)[/tex] mais apparemment ce n est pas le cas.
Alors je ne vais pas bruler les étapes et commencer à faire des développements limités afin de pouvoir au final je l espère savoir linéariser
Je vous remercie tous de souvent m épauler et de me transmettre votre savoir et vos méthodes, j ai beaucoup progressé depuis que je viens ici.
J espere un jour être aussi bon que vous tous mais ca va demander beaucoup de travail mais ça ne me fais pas peur
Cordialement
chipp
Dernière modification par chipp (09-05-2011 08:49:20)
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#16 23-11-2023 14:14:20
- Ligat
- Invité
Re : Linéarisation
Bonjour.
On demande de donner "LE linéarisé" au point a(0,-1,1) de la fonction f(x,y,z) = (cos(x) +z/y , x+ln(z), x²-y+2, x+y+z)
(nb a(0,-1,1) est un vecteur)
Je ne comprends pas la question. Je ne sais pas ce qu'est "le linéarisé" .
quelqu'un peut-il me donner une définition ?
#17 23-11-2023 17:30:46
- Dalal
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- Messages : 57
Re : Linéarisation
Bonjour Ligat,
Un sujet=Une nouvelle discussion.
Il faut que tu ouvre une nouvelle discussion pour tes questions. Pour cela il faut que tu clique sur Nouvelles discussion en haut à droite de la page d'accueil du Forum concerné.
Bonne journée.
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