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chipp

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Systeme d équation de recurrence linéaires

Bonsoir à tous c est encore moi l éternel mordu de maths que j affectionne de plus en plus malgré le fait que je trouve cela légèrement compliqué (mais beaucoup moins qu avant ^_^)

J arrive à résoudre les equations de reccurence mais quand c est posé sous forme matricielle j ai du mal est ce que la procédure à suivre est modifiée? ou est ce que rien ne change?

Alors voici mon probleme

on veut determiner la solution du systeme d équations de reccurence linéaires sur  [tex]{x}_{t},{y}_{t}[/tex]  en fonction de  [tex]{x}_{0},{y}_{0}[/tex]

[tex]{x}_{t+1}=\,2{x}_{t}+2{y}_{t}[/tex]
[tex]{y}_{t+1}=\,-2{x}_{t}-3{y}_{t}[/tex]

1) Ecrire ces équations sous la forme d une reccurrence matricielle  [tex]{X}_{t+1}=AXt\,avec\,Xt=[/tex]   [tex]\left(\begin{array}{c}xt\\yt\\\end{array}\right)[/tex]  (Ca je l ai fait)

2) Calculer les Valeures propres de A ( ca je l ai fait et j ai touvé  x1= 1 et x2= -2)

3) diagonaliser A, c est à dire ecrire A sous la forme A= [tex]PD{P}^{-1}[/tex]  . En déduire une relation de réccurrence pour la suite  [tex]{Y}_{t}[/tex] =  [tex]{P}^{-1}[/tex] Xt

(Pour cette question je n ai pas vraiment de souci pour diagonaliser juste une petite regle quand je trouve mes vecteurs propres en fonction de x1 et x2 on pose un systeme que l on resoud mais je me trompe par moments au moment de l ecriture du vecteur car les valeurs ca m arrive de les inverser, comment faire pour ne pas se tromper a coup sur? Et sinon pour deduire la relation par reccurrence je bug un peu pourtant je sais que ca à pas l air compliqué)

4)Calculer Yt et en deduire l expression de  [tex]{X}_{t}[/tex]  pour  [tex]{x}_{0}=1,\,{y}_{0}=2[/tex]
(Pour cette question je vous cache pas que j ai pas compris est ce que l on remplace juste les  [tex]x\,et\,y\,par\,les\,valeurs\,de\,{x}_{0}et\,{y}_{0}?[/tex]

5) Determiner la limite de  [tex]{X}_{t}[/tex]  selon la valeur de ( [tex]{x}_{0},{y}_{0}[/tex] )

Desolé par avance pour la synthaxe j ai un peu de mal avec l outil pour inserer les équations
Merci à tous
cordialement Chipp

Dernière modification par chipp (05-05-2011 21:30:50)

freddy

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Re : Systeme d équation de recurrence linéaires

Salut,

il suffit que tu saches écrire les puissances successives de A sous la forme :

[tex]A^n=P\times D^n\times P^{-1}[/tex]

C'est assez facile à montrer. Ainsi, par exemple : [tex]A^2=A\times A = PD(P^{-1}\times P)DP{-1}=PD^2P^{-1}[/tex]

et te souvenir que si D est une matrice diagonale, les puissances successives D = chaque terme de la diagonale principale est élevé à cette puissance.

Le reste se déduit de lui-même.

Bon courage !

Dernière modification par freddy (06-05-2011 17:00:35)

chipp

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Re : Systeme d équation de recurrence linéaires

Oui je sais que diagonaliser permet de calculer la puissance de n importe quelle matrice, cependant est ce que  [tex]{Y}_{t}[/tex] signifie que c est le terme précedent de la suite suite reccurrente et que  [tex]{Y}_{t+1}[/tex] correspond t il au terme suivant?

Pour avancer dans la suite on multiplie la diagonale par la puissance que l on veut calculer, mais si l on veut reculer dans la suite comment fait on?

Et est ce que le fait que l on passe de  [tex]{X}_{t+1}[/tex] à  [tex]{Y}_{t+1 }[/tex] est du au changement de variable via la matrice de passage  [tex]P[/tex] ?

Quand on pose les conditions initiales, par exemple  [tex]{x}_{0}\,ou\,{y}_{0}[/tex] est ce que ça signifie que l on cherche le premier terme de la suite récurrente avant et après changement de base?
Enfin ma question ultime pourquoi la solution particulière peut elle être considérée comme un point d équilibre?
(Parceque j ai la correction de l exercice cependant ils posent que solution homogène - solution particulière est égal à 0 et je ne comprends pas pourquoi c est égal à 0)

J ai conscience que j ai posé beaucoup de questions d un coup et je m en excuse
PS: Pour les 3 premières questions c est bon c est dans la poche j ai compris comment faire la derniere aussi n est pas compliquée à condition de réussir la 4eme question c est la que je bloque
Merci d avance
chipp

Dernière modification par chipp (06-05-2011 23:20:49)

freddy

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Re : Systeme d équation de recurrence linéaires

Re,

le vecteur Y est défini à chaque instant par [tex]Y_t=P^{-1}\times X_t[/tex]

Par suite, [tex]X_{t+1}=A\times X_{t} = PDP^{-1}\times X_{t} \Rightarrow P^{-1} X_{t+1} = (P^{-1}\times P)D(P^{-1} X_{t})  \Rightarrow Y_{t+1} = D\times Y_{t}[/tex]

En particulier, on a : [tex]Y_{t} = D^{t}\times Y_{0} =D^{t}\times P^{-1}X_{0}[/tex]

Tu devrais pouvoir faire la fin.