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#1 18-04-2011 23:12:34
- daouda
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Ensemble R
Bonsoir,
j'ai un exercice que j'arrive pas à faire dont voici l'énoncé:
Soit [tex]A=\left\{ \frac{1}{2^n} \;\;\;;n\in \mathbb{N}\right\}\;;\;B=\left\{ n^2\;\;;n\in \mathbb{N} \right\}\;\;;C=\left\{x\in \mathbb{R^+}\;/\;x^2^\le2 \right\}[/tex]
Ces ensembles sont-ils majorés, minorés, bornés. Déterminer s'il y a lieu la borne supérieure,
la borne inférieure, le maximum, le minimum.
Merci d'avance pour toute aide car je peux même pas commencer.
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#3 20-04-2011 22:14:26
- boubamane
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Re : Ensemble R
Bonjour à tous
Je pense que freddy parle de ces exercices dont voici les indications et les solutions.
Merci a+
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#4 04-05-2011 18:48:16
- macolya
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Re : Ensemble R
Pour L'ensemble A
On voit que tout élément de A est plus petit que 2 et est plus grand que -1. Donc -1 et 2 sont respectivement des minorant et majorant de A. Puisque A et non vide donc il admet une borne supérieure (qui est le plus petit des majorant de A) et une borne inférieure (qui est le plus grand des minorant de A). Donc 1 et 0 sont respectivement la borne supérieure et la borne inférieure. Puisque 1 appartient à A donc un est un maximum. Puisque 0 n'appartient pas à A donc A n'admet pas de minimum.
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#5 04-05-2011 22:32:59
- MOHAMED_AIT_LH
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Re : Ensemble R
Bonsoir
[tex]0 =\inf(A)[/tex] nécessite une justification .
#6 05-05-2011 18:37:13
- macolya
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Re : Ensemble R
Si on ajoute à 0 un nombre epsilon strictement positf aussi petit qu'il soit alors 0+epsilon n'est pas un minorant de A. En effet puisque la suite 1/(2^n) tend vers 0, alors pour ce epsilon, il existe un entier naturel M tel que si n supérieur à M alors 1/(2^n) est strictement plus petit que epsilon. Donc 1/(2^(M+1)) est strictement plus petit que epsilon=0+epsilon et 1/(2^(M+1)) appartient à A et par suite 0+epsilon n'est pas un minorant de A. D'où O=inf(A).
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#9 28-05-2011 13:35:48
- macolya
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Re : Ensemble R
Pour C
C est exactement l'ensemble des réels x positifs telle que valeur absolue de x est inférieure ou égale à racine de 2. C'est à dire l'ensemble des réels compris (ausens large) entre 0 et racine de 2.
Donc C est minorée et majorée respectivement par 0 et racine de 2qui sont aussi respectivement le minimum et le maximum de C.
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#11 02-06-2011 16:09:41
- macolya
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Re : Ensemble R
j'avais justifié cela comme suis.
Si on ajoute à 0 un nombre epsilon strictement positf aussi petit qu'il soit alors 0+epsilon n'est pas un minorant de A. En effet puisque la suite 1/(2^n) tend vers 0, alors pour ce epsilon, il existe un entier naturel M tel que si n supérieur à M alors 1/(2^n) est strictement plus petit que epsilon. Donc 1/(2^(M+1)) est strictement plus petit que epsilon=0+epsilon et 1/(2^(M+1)) appartient à A et par suite 0+epsilon n'est pas un minorant de A. D'où O=inf(A).
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