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vinegard

Invité

relations binaires,diagrammes de hasse...

bonjour a tous
voila je voudrais savoir si possible si quelqu'un peut m'expliquer comment representer une relation d'ordre du type
R={(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (a, b), (b, c), (a, c), (d, c)} par un diagramme de hasse...
j'ai compris la notion de ce diagramme dans les cas des ensembles doté d'une relation de divisibilité,ainsi que des ensembles dotés d'une relation d'inclusion...
veuillez s'il vous plait detailler votre methode et votre raisonnement,surtt en ce qu'il s'agit de prouver que R est un ordre...
je vous remercie d'avance et vous souhaite bonne journée.

freddy

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Re : relations binaires,diagrammes de hasse...

Salut,

ta question me laisse quelque peu pantois : ta relation d'ordre est définie sur quel ensemble, que ne comprends tu pas, que signifie tes couples d'éléments ?

Ou alors doit on comprendre que c'est à nous de deviner la nature de la relation ?

Les éléments sont {a,b,c,d}

la relation R est réflexive puisqu'on a (a R a), ... (d R d)

elle est transitive ? on a : (a R b) et (b R c) => (a R c) mais c'est tout.

Est elle anti symétrique ?

Bon, je pense que tu n'es pas très à l'aise avec ces questions, et je ne vois pas quoi faire d'autre que de te conseiller de travailler un peu plus ces notions avant de venir poster.

Ton "veuillez détailler ..." veut dire : expliquez moi ! mais je pense qu'il faut d'abord que tu fasses des efforts de compréhension toi même, puis on confrontera "ta méthode de raisonnement" pour vérifier que tu as bien compris.

Aide toi, et Bibmath t'aidera.

vinegard

Invité

Re : relations binaires,diagrammes de hasse...

excusez moi,j'ai omis de preciser le domaine de definition...
voici l'exercice entier
"Soit E = {a, b, c, d}, et la relation d’ordre
R = {(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (a, b), (b, c), (a, c), (d, c)}
- Dessiner le graphe de R.
- Dessiner le diagramme de Hasse de R."

R etant une relation d'ordre,alors elle est automatiquement reflexive,antisymetrique et transitive...
donc pour prouver la reflexivité on doit donc dire que pr chaque element de E,donc a,b,c,d ces elements sont en relation avec eux mm...c'est a dire on a (a,a),(b,b) etc...meme chose pour l'antisymetrie et la transitivité...
mais comment peut on obtenir un diagramme de hasse a partir de cela?

vinegard

Invité

Re : relations binaires,diagrammes de hasse...

a titre d'exemple si vous ne voyez toujours pas ce que j'essaye de comprendre:
dans l'example classique d'un ensemble et d'une relation de divisibilité,on prend par example
({1.....12},|)
si on doit faire un diagramme de hass,il faudrait classer les elements ainsi que ceux qui sont en relation avec cet element,on aura donc au 1er niveau l'element 1,mis en relation au 2eme niveau avec 3,2,5,7,11, et ainsi desuite,les elements sont chacun liés a un autre element si ils divisent cet element...
meme chose avec une relation d'inclusion sur des partitions d'ensemble
(P({a,b,c}), [tex]\subset[/tex] )
le premier niveau comprend le singleton { [tex]\empty[/tex] },mis en relation avec les singletons {a},{b},{c}
eux meme liés aux differentes partitions {a,b},{a,c} etc...qui seront mis en relation ac l'ensemble P({a,b,c})
la encore,j'ai compris la notion,car la relation qui est donnée est concrete,et on peut facilement savoir quel element est situé "au dessus" d'un autre element dans le diagramme...
par contre dans la relation precedente R,celle ci est composée de couples d'elements,donc comment construire un diagramme de hasse,car je n'arrive pas a voir quel element est ici au dessus ou en dessous d'un autre dans le diagramme

Groupoid Kid

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Re : relations binaires,diagrammes de hasse...

Salut tous les deux.

Pour te répondre Vinegard, la relation qui t'es donnée ici est donnée par son graphe : dire que [tex](x,y)\in\Gamma_R[/tex] revient à dire que [tex]x R y[/tex]. Ensuite comment en déduire le diagramme de Hasse ? Exactement comme tu l'as fait pour la divisibilité et l'inclusion. Comment as-tu fait pour déterminer que 1 serait en bas pour la divisibilité ou le vide pour l'inclusion ? Comment as-tu placé les éléments de "deuxième niveau" ? Tu as simplement testé toutes les combinaisons et conclut quel était le ppe, etc. Ici c'est la même chose.

vinegard

Invité

Re : relations binaires,diagrammes de hasse...

hum,ce qui me laisse penser que le premier element est c,lié d'une part avec d et a au 2eme niveau,et que a est lié a b au 3eme niveau du diagramme de hasse...
mon raisonnement est un peu instinctif ici,etant donné que c est en relation d'une part ac lui mm,avec d,avec a et avec b,j'en deduit que c'est le premier element.
d n'est en relation qu'avec lui mm et avec c,et a est en relation avec b

sa nous donne
                               
                                       b
                                      /
                              d     a
                               \   /
                                 c

Groupoid Kid

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Re : relations binaires,diagrammes de hasse...

Heu... non, non, tu changes d'ordre une fois sur deux ! Cette relation n'est pas symétrique, dRc et cRd ne sont pas interchangeables.

Si tu ne t'y retrouves pas, réessaie en notant ta relation [tex]\leqslant[/tex]

vinegard

Invité

Re : relations binaires,diagrammes de hasse...

awiii,c'est anti symetrique car c'est un ordre...

                        c
                      /   \
                    d      b
                           /
                         a

ce diagramme est bon?

et au cas ou on demanderai les minorants,majorants elements maximaux,elements minimaux et les bornes pour cet ensemble(en prenant pour hypothese que le diagramme est juste),je reponderai par:
minorant:il n'y en a aucun car d n'est pas en relation avec a
majorant:c est un majorant car pr tt element de E,c est en relation avec cet element
elements minimaux:d et a sont elements minimaux,donc ducoup le minimum n'existe pas
elements maximaux:c est le seul element maximal,ce qui fait de lui un maximum
borne superieure:etant donné que c est le seul majorant,il est donc la borne sup
borne inferieure:etant donné qu'il n'existe pas de minorants,il n'ya pas de borne inf

je te remercie d'avance de l'aide que tu pourras m'apporter :p

Groupoid Kid

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Re : relations binaires,diagrammes de hasse...

Ce diagramme est correct. Par contre tu emploies ton vocabulaire de façon étrange. En général, les termes de minorant/majorant et borne inf/sup sont réservés à des sous-parties d'un ensemble ordonné plus grand. En outre, on parle rarement de minimum/maximum, plutôt de plus petit élément / plus grand élément.

De plus tes arguments sont faux pour la plupart.
"d et a sont elements minimaux,donc ducoup le minimum n'existe pas" oui, tout ppe est par définition minimal universel. "There can be only one."
"c est le seul element maximal,ce qui fait de lui un maximum" affirmation vraie, argument faux. L'ensemble N n'a pas de maximal. Si j'adjoints l'ensemble N à ton ensemble, l'ensemble résultant admettra encore c pour unique maximal, et pourtant il n'aura plus de pge. C'est pas le tout d'être le seul maximal, encore faut-il être plus grand que tout le monde ^^
"etant donné que c est le seul majorant,il est donc la borne sup" idem, pour la même raison, en utilisant en plus le théorème qui dit que quand il y a un pge, il est forcément égal à la borne sup dans tout ensemble ordoné où on plongerait celui-ci.
"etant donné qu'il n'existe pas de minorants,il n'ya pas de borne inf" c'est là où ça devient vraiment bizarre. Vu de l'intérieur du sous-ensemble, minorant = ppe s'il existe. mais vu d'un ensemble plus grand, par exemple :
                 c
               /   \
             d      b
            /       /
           /      a
          e__ /

l'ensemble {a,b,c,d} peut admettre un minorant (e, qui est également borne inf ici), bien qu'il n'ait pas de ppe.

vinegard

Invité

Re : relations binaires,diagrammes de hasse...

ah oui bien sur...j'ai juste pris comme hypothese que l'ensemble E qui est donné n'est pas un sous ensemble d'un autre ensemble A,sinon on est obligé de regarder quels elements dans A minorent les elements de E,ceci je l'avais compris :p
bah ce qui me manque maintenant c'est quelques exercices,mais je me dois de te remercier grandement,tu m'a vraiment bcp aidé
sur ce je vous souhaite bonne continuation