Forum de mathématiques - Bibm@th.net

tatouuotat

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Densite jointe

Voulant faire une annale je regarde la premiere question du sujet que voici
"Soit X et Y deux variables aleatoires reelles suivant chacune une loi exponentielle de parametre 1.
On pose U=X/(X+Y) et V=X+Y."
premiere question: En utilisant la formule de changement de variable determiner la densite jointe du couple(U,V)

voila apres avoir maudit les maths sur 7 generations je m'en remets a vous. je pense que le changement de variable intervient lors d'un calcul integral mais je ne vois pas lequel...

tatouuotat

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Re : Densite jointe

Et veuillez m'excuser pour mon manque de politessedu a une extreme frustration mathematique. Bien entendu je vous remercie d'avance pour votre aide et vous souhaite le bonoir =)

MOHAMED_AIT_LH

Invité

Re : Densite jointe

Bonjour

as  tu  jetter   un  coup  d'oeil  sur  ton  cours  pour  voir  la  définition de la densité  jointe ?
Si oui  réecrit là  et  voyons  ce  que  tu  pourras  en  faire ...

tatouuotat

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Re : Densite jointe

Dans mon cours on la definit comme l'integrale double de la fonction de repartition jointe. Dans cet exercice X et Y sont independantes on peut donc en conclure que la densite jointe de X et Y est le produit des densite de X et de Y..Apres j'ai du mal a faire rentrer les operations telles que + dans le calcul de densite..Comme par exemple la densite de X+Y. Merci de votre aide.

iamismael

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Re : Densite jointe

bonjour on remarque que UV=X  et (V-U)V=Y
soit [tex]\phi[/tex] mesurable bornée
[tex]E(\phi(X,Y))=E(\phi(UV,V²-UV))[/tex]

Dernière modification par iamismael (29-04-2011 01:42:03)

freddy

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Re : Densite jointe

Salut,

bof, bof ...

la densité n'est pas égale à une intégrale, t'as appris ça dans quelle école ?

par contre I am Ismael t'a donné une piste, quoique pas exploitable en l'état pour toi.

Comme tu le dis, X et Y sont deux va réelles indépendantes => densité produit = produit des densité par définition.

Ensuite, tu fabriques le changement de variable indiqué par I am ismael, que tu insères dans le produit de tes densités et tu exprimes ensuite la densité "produit" en notant bien que les va U et V ne sont pas indépendantes.

Vu ?

Dernière modification par freddy (29-04-2011 10:21:35)

tatouuotat

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Re : Densite jointe

Autant pour moi je l'ai mise dans l'autre sens. Quel benet. La densite jointe est le derivee de la fonction de repartition selon X et selon Y. Mea culpa. Il me semble qu'il y a une erreur dans le changement de variable de i am ismael X=UV pas de souci mais on a X+Y=V donc Y=V-UV il n'y a pas de carres me semble t'il.

J'ai pose le changement de varible de i am ismael je trouve donc f(UV,V-UV)(x,y)=exp^(-x-y). Apres avoir changer x par uv et y par v-uv j'ai donc f(UV,V-UV)(2uv,v)=exp^-2uv-v...J'ai comme l'impression d'avancer dans une impasse qui vient du fait que je n'arrive pas a jouer sur les probabilites UV et V-UV..

freddy

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Re : Densite jointe

Salut,

là, c'est à moi de te présenter mes excuses ...

Le changement de variable doit se faire dans le cadre de la fonction de répartition qui mesure

[tex]Prob( X\le x,\,Y \le y)=\int_0^x \int_0^y\,exp(-x-y)\,dy\,dx[/tex] et tu dois tout changer, y compris les variables d'intégration. D'où l'indication de I'm Ismael !

Dernière modification par freddy (30-04-2011 22:35:05)

tatouuotat

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Re : Densite jointe

En utilisant tout vos conseils j'en arrive a la conclusion que :
f(U,V)(u,v)=v(1-u)e^-v.

Dites moi si vous trouvez pareil. En tout cas je vous remercie grandement c'est la que je vois que les maths c'est fait d'entre aide .

tatouuotat

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Re : Densite jointe

Autant pour moi enlever le terme en uv il ne reste que celui en v, j'avais oublie que dans le cas d'une integrale multiple il faut faire intervenir le jacobien.

freddy

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Re : Densite jointe

Salut,

comme dit dans les bons ouvrages ainsi que dans la Bibmaths, souvent, pour calculer la loi de probabilité jointe (permettant ensuite de connaître la densité du couple de va, il est nécessaire de passer par le résultat suivant :

[tex]\Pr(U \le u, V \le v)=\Pr(U \le u\,/ V \le v)\times \Pr(V \le v)[/tex]

La loi marginale de V est donnée par :

[tex]\Pr(Y \le v)=\Pr(X+Y \le v)=\int_0^x \int_0^{v-x} e^{-x}\times e^{-y}\,dy\,dx=\int_0^v e^{-x}\times(1-e^{x-v})\,dx=1-(1+v)\times e^{-v}[/tex]

Si tu retrouves la même loi marginale pour V à partir de ta loi jointe, il y a quelque chance que tu aies bon (je n'ai pas encore fait tous les calculs).

Tu auras remarqué au passage que la va U a pour support [0,1].

A suivre (...)

Dernière modification par freddy (03-05-2011 20:38:42)

tatouuotat

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Re : Densite jointe

Ouais je trouve ca. Finalement on en arrive a la conculsion que U est une uniforme sur [0,1] et V est une gamma de parametre (2,1). En tout cas felicitations le site est j'avoue tres bien foutu et une veritable mine d'or en terme d'exercices .
Je vous salue et vous remercie pour tout =) (etant en periode de revisions je penses que vous me reverrez bientot)

freddy

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Re : Densite jointe

Salut,

Be carefull : U suit une loi Beta, et non uniforme ...

Dernière modification par freddy (03-05-2011 16:59:40)

tatouuotat

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Re : Densite jointe

Salut,

Ils nous ont pas explique ce que c'etait la loi beta en cours..:/ par contre exception faite que j'ai fait une erreur je trouve que fU(u)=indicatrice de U sur [0,1]..Ca me rappelait une uniforme vue qu'elle etait constante entre 0 et 1 egale a 1=1/1-0.

freddy

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Re : Densite jointe

Re,

si tu trouves une constante, OK pour une va uniforme (mais tu as fait une erreur de calcul).

Toutefois, c'est un résultat classique en statistique mathématique qui énonce que si X et y suivent une loi exponentielle, alors U suit une loi bêta, et V une loi gamma.

Les lois bêta et gamme sont attachées aux  fonctions eulériennes de première et seconde espèce. Fais un saut sur la bibmath (stat proba), et tu trouveras !

Dernière modification par freddy (04-05-2011 22:28:54)