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#1 28-04-2011 07:14:16
- kelyos
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Calcul densité jointe
Bonjour à vous,
Voilà j'ai un sujet d'annale sans le corrigé et j'ai un problème pour résoudre une fonction de densité jointe d'un vecteur aléatoire (X,Y)
[tex]{f}_{X,Y}[/tex] (x,y) = Axy(2-x-y) [tex]{1}_{\left(0,1)\right)}[/tex] (x) [tex]{1}_{\left(0,1)\right)}[/tex] (y)
la question est
"Détermine the constant A such that f represents a truly density function of a probability measure" (en gros déterminer A)
Alors je sais d'après une propriété que [tex]{f}_{X,Y}[/tex] (x,y) = 1, qu'il faut aussi séparer les x et y en calculant leur intégrales respectifs mais le problème est là je ne vois pas comment les séparer
Si quelqu'un aurait une idée là dessus...
Merci d'avance
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#2 28-04-2011 08:35:08
- freddy
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Re : Calcul densité jointe
Salut,
non, il ne faut pas séparer, ça va venir tout seul.
Il faut que tu calcules l'intégrale double suivante : [tex]A\times \int_0^1\left(\int_0^1\,xy\times (2-x-y)\,dx\right)dy[/tex]
Dis moi combien tu trouves pour A, que je vérifie avec mon calcul.
Merci !
Dernière modification par freddy (28-04-2011 10:31:41)
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#4 28-04-2011 12:22:46
- iamismael
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Re : Calcul densité jointe
bonjour
Pour connaitre respectivement les densités de X et Y, il faut intégré [tex]f_{X,Y}[/tex] par rapport à y et par rapport à x :
[tex]f_{X}=A\times\int_0^{1}\,\xy\times (2-x-y)\,dy[/tex]
[tex]f_{Y}=A\times\int_0^{1}\,\xy\times (2-x-y)\,dx[/tex]
ici les variables ne sont pas indépendantes car on ne peut factoriser [tex]xy\times (2-x-y)[/tex]
Dernière modification par iamismael (28-04-2011 12:32:10)
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#7 28-04-2011 12:47:09
- iamismael
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Re : Calcul densité jointe
parcqu'ici [tex]f_{X,Y}= \int e^{-x}e^{-2y} dxdy = \int e^{-x} dx \times \int e^{-2y}dy[/tex]
simple séparation d'intégrale
mais il faut faire attention a l'indicatrice aussi
si on a une densité [tex]A \times x 1_{xy<1} . y 1_{y\in R}[/tex]
alors X dépend de Y
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#10 28-04-2011 15:03:19
- kelyos
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Re : Calcul densité jointe
Bon je reviens une nouvelle fois vers vous car j'ai encore des soucis sur une question, on me demande d'abord de calculer [tex]{f}_{Y}[/tex](y) est la réponse est [tex]4y-3y²[/tex] [tex]{1}_{\left(0,1)\right)}[/tex](y) (1 est l'indicatrice compris entre 0 et 1)
puis de calculer la fonction densité conditionnelle [tex]{f}_{x|{y}_{}}[/tex] = [tex]\frac{{f}_{X,Y}\left(x,y)\right)}{{f}_{Y}\left(y)\right)}[/tex] (avec A=6), je me retrouve donc avec [tex]\frac{6xy\left(2-x-y\right)}{4y-3y²}[/tex]
puis le problème ici donc de calculer l'espérance conditionnelle [tex]E\left(X|Y=y)\right)=[/tex] [tex]\int^{R}_{}x\,{f}_{\left(x|y)\right)}[/tex] [tex]dx[/tex] que je n'arrive pas à simplifier en intégrant ce que j'ai juste au dessus car je me retrouve avec des x et y partout :(
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#11 28-04-2011 15:11:08
- freddy
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Re : Calcul densité jointe
Re,
tu te noies dans dé à coudre.
L'espérance conditionnelle sera une fonction de y, tu ne crois pas ?
Donc tu intègres par rapport à x sur le segment [0,1] après avoir fait qques simplifications et hop ...
Reviens me dire ce que tu trouves, stp !
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#12 28-04-2011 15:14:26
- freddy
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- Messages : 7 457
Re : Calcul densité jointe
parcqu'ici [tex]f_{X,Y}= \int e^{-x}e^{-2y} dxdy = \int e^{-x} dx \times \int e^{-2y}dy[/tex]
simple séparation d'intégrale
mais il faut faire attention a l'indicatrice aussi
si on a une densité [tex]A \times x 1_{xy<1} . y 1_{y\in R}[/tex]
alors X dépend de Y
Perso, je ne suis pas un adepte de cette approche qui consiste à séparer les variables : on risque de se prendre les pieds dans le tapis.
On commence à iintégrer par rapport à une variable, puis l'autre, et si elle sont liées d'une manière ou l'autre, on ne court pas trop de risque de se louper.
Bb
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