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mathieu64

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loi exponentielle

Bonsoir,

Je bute un peu sur un exo concernant la loi à densité  exponentielle.
Voici la partie qui me pose problème Au départ on me donne une suite an de réels strictement positifs qui converge vers un réel a et on associe à ces réels la loi exponentielle de paramètre an. La première partie demande de montrer la convergence étroite des lois vers la loi exponentielle de paramètre a. Jusque là pas de problème. C'est la réciproque qui est plus dur et en particulier on me demande de montrer que si une suite de loi exponentielle converge étroitement vers la dirac en 0 alors la suite de réelle tend vers l'infini. J'aimerai savoir si la technique de trouver une fonction simple bornée et continue qui obligerai par définition de la convergence étroite à faire tendre la suite vers l'infini n'est pas mauvaise ou il faut chercher un autre argument.
Merci d'avance.

Dernière modification par mathieu64 (27-04-2011 09:16:10)

freddy

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Re : loi exponentielle

Salut mathieu64,

avant de te répondre, qques remarque de forme : on dit "un réel" et "une variable réelle". On dit "une suite de réels strictement positifs" et "on associe à ces réels ...".
On dit "La réciproque est plus difficile" ou délicate (et pas dur) ;

en fin, je dirais "j'aimerais (c'est un conditionnel) savoir si la technique qui consiste à trouver une ... est une bonne piste ou bien s'il faut chercher un autre argument".

Voilà, je te reviens, mais ton orthographe risque d'être rédhibitoire pour l'exercice de certains métiers. Ne m'en tiens pas rigueur stp, mais "j'ai mal aux yeux".

A bientôt,

Freddy

Pour la communauté, la convergence étroite = convergence en loi (ou légale selon un un usage du début des années 50).

mathieu64

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Re : loi exponentielle

Non pas de problème, tu as raison. Effectivement il va falloir faire quelque chose sur ce sujet si j'envisage d'être professeur. Mais bon je pense qu'il n'est jamais trop tard à partir du moment ou on m'est un peu de bonne volonté.
De plus c'est plutôt profitable ça me permet de revoir certaines règles. Sinon comment fait la communauté pour distinguer convergence faible et convergence étroite mais bon j'imagine que comme on considère ça comme un exercice de proba cela revient au même.

En espérant à l'avenir te piquer le moins possible les yeux.

A bientôt.

Dernière modification par mathieu64 (27-04-2011 09:23:46)

freddy

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Re : loi exponentielle

Re,

il y a encore du boulot " ... il n'est jamais trop tard à partir du moment où on met un peu de bonne volonté".

Pour le vocabulaire, il est focntion  des espaces concernés : topologique, mesurable, probabilisable ...

va voir là : http://fr.wikipedia.org/wiki/Convergenc … %A9atoires

et là : http://fr.wikipedia.org/wiki/Topologie_faible

Je ne sache pas qu'on parle de convergence faible en proba, mais je peux me tromper.

mathieu64

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Re : loi exponentielle

Oh la! c'est clair c'est l'horreur le m'est au lieu de met vraiment honteux surtout quand il s'agit de mettre de la bonne volonté, ça ressemble à une blague.Bref si tu peux m'aider quand même malgré cette mauvaise orthographe sur le premier message c'est sympa. Au moins me dire si essayer des fonctions parait pas trop mal ou il y a un argument autre à chercher.

Merci d'avance.

Dernière modification par mathieu64 (27-04-2011 11:02:50)

freddy

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Re : loi exponentielle

Re,

pour la piste, c'est assez simple il me semble : si la suite (an) converge vers le réel a fini, alors la Fdr [tex] F_n(x) -> F(x)[/tex] qui est une fonction de répartition.

A l'inverse, si la suite de réels stritement potitifs divergeait, comment se comporterait la FdR de la loi exponentielle associée qui est égale à [tex]1-exp(-a_n\times x)[/tex] quand an tend vers + l'infini ?

Ne serait elle pas concentrée en un point ?

mathieu64

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Re : loi exponentielle

Oui je suis bien d'accord avec toi ça converge vers la dirac en 0 ,au passage je travaille avec la fonction caractéristique que l' on a plus étudiée en cours. Je connais mal les résultats concernant la fonction de répartition. Mais mon problème est plus si on suppose que la suite de loi converge étroitement vers la dirac en 0 alors il faut voir que la suite diverge en + l'infini. Là tu ne suppose pas déjà qu'elle diverge? Et concernant la fonction de répartition que tu donnes, pour les x<0 elle ne vaut pas 0 plutot que ce que tu as ecrit?

Merci bien

Dernière modification par mathieu64 (27-04-2011 13:26:27)

mathieu64

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Re : loi exponentielle

Après avoir corrigé un peu d'orthographe, je pense m'en être sorti. La fonction caractéristique de la loi exponentielle de paramètre a est [tex] \frac{a}{a-it} [/tex]
Celle de la mesure de Dirac en 0 est constante égale à 1. Donc je dois avoir la suite de fonction caractéristique de la loi exponentielle de paramètre an (avec comme seule hypothèse les an réels strictement positifs) qui converge vers la fonction constante égale à 1. En particulier la suite de fonction partie réelle des fonctions caractéristiques
qui vaut [tex] \frac{an^2}{an^2+t^2} [/tex]
converge vers 1 pour tout t fixé. Donc comme t peut être rendu aussi grand qu'on veut cela entraine que an tend vers + l'infini.

Si le raisonnement te paraît un peu douteux je te remercie de me le signaler. En tout cas grâce à toi je jongle maintenant entre "réel" et "réelle".

Bonne journée.

Dernière modification par mathieu64 (27-04-2011 14:15:44)

mathieu64

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Re : loi exponentielle

Je reviens à la charge. Après on me demande après avoir supposé que la fonction ne convergeait pas vers la dirac en 0 de montrer qu'il existe un t0 différent de 0 tel que la fonction caractéristique f de la loi vers laquelle la suite de fonction caractéristique converge est tel que f(t0) différent de 1. Ça vient du fait que si la fonction était constante égale à 1 ça serait la dirac en 0 et en plus f(0)=1 ce qui justifie que t0 n'est pas 0. Enfin j'en déduit que ma suite an converge et pour conclure il faut que la limite de an soit strictement positive. Est ce que l'argument est que si la limite a=0 alors ma suite de fonction convergerait vers la fonction caractéristique nulle et c'est pas possible car du coup elle ne vérifierait pas f(0)=1 donc ce n'est pas la fonction caractéristique d'une loi de proba?

Merci bien.

Dernière modification par mathieu64 (27-04-2011 15:04:12)

freddy

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Re : loi exponentielle

Re,

je n'ai pas précisé que x >= 0 car tous les utilisateurs savent que le support de cette loi est R+, pardon.

la fonction de répartition donne Prob(X < x) = F(x) = 1-Prob(X >= x) (loi de survie en général).

En effet, si on passe par la fonction caractéristique, ç a veut dire que toute la masse est concentrée au point 0, et qu'elle vaut 1. Et ce n'est valable que si la limite = + infini (c'est donc plus un résultatr qu'une hypothèse).

PS : je n'ai pas encore lu ton post de 16h 01 !

Dernière modification par freddy (27-04-2011 15:11:03)

mathieu64

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Re : loi exponentielle

Ok,
Merci Freddy c'était vraiment pas une offense pour la fonction de répartition. Je reconnais qu'il y avait peut être un petit côté à vouloir apprendre à un vieux singe à faire la grimace mais bon à ce petit jeu là je vais presque surement me faire recaler et malheureusement pour moi pas pour la mesure de Dirac.

freddy

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Re : loi exponentielle

Je reviens à la charge.

Question : il est demandé, après avoir supposé que la fonction ne convergeait pas vers la Dirac en 0, de montrer qu'il existe un réel [tex]t_0 \ne 0[/tex] tel que la fonction caractéristique f de la loi vers laquelle la suite de fonctions caractéristiques converge est telle que [tex]f(t_0) \ne 1[/tex].

Réponse : Ça vient du fait que si la fonction était constante et égale à 1,  ça serait la Dirac en 0 et, de plus,[tex]f(0)=1[/tex] ce qui justifie que [tex]t_0 \ne 0[/tex].

Enfin j'en déduis que ma suite [tex](a_n)[/tex] converge et pour conclure, il faut que la limite de cette suite soit strictement positive.

Est ce que l'argument est que si la limite a=0 alors ma suite de fonction convergerait vers la fonction caractéristique nulle et c'est pas possible car du coup elle ne vérifierait pas f(0)=1 donc ce n'est pas la fonction caractéristique d'une loi de proba ?

Merci bien.

J'ai un peu mis des formes + encore corrigé le texte, mais j'avoue ne rien comprendre à ton raisonnement.

Je te rappelle que la "virgule" sert à reprendre sa respiration, qu'espacer les paragraphes aère le texte et rend la lecture + aisée et enfin, en se relisant, on comprend pourquoi les autres ne nous comprennent pas.

Sinon, quand je lis la question, j'ai envie de démontrer le résultat en supposant qu'un tel réel n'existe pas et de voir ce que ça fait. Mais je n'ai pas vraiment réfléchi, je ne comprends pas bien pourquoi on te demande cela.

PS : je n'ai vu aucune offense.

Dernière modification par freddy (27-04-2011 21:35:11)

mathieu64

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Re : loi exponentielle

Je vais me faire confiance sur le raisonnement et tacher d'apporter du soin dans mes prochains posts merci de ta patience.