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mathieu64

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integrale complexe

Bonjour,

J'ai du mal à calculer le résidu de la fonction définie pour tout z par [tex] f(z)= \frac{z*e^{iz}}{(z^2+1)^2} [/tex]
en i. Déjà  quelle est la technique la plus adaptée, faire un développement en serie de laurent en i ou se taper le calcul de limite. Si pour l'instant vous pouviez me donner juste le résultat ainsi que la méthode choisie histoire que je fasse le calcul moi même ça serait bien sympa.

Merci d'avance.

Dernière modification par mathieu64 (24-04-2011 09:38:46)

thadrien

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Re : integrale complexe

Salut,

Vu que ce sont deux pôles d'ordre 2, je te conseillerai le calcul de la limite. Toutefois, le développement en séries de Laurent fonctionne aussi.

Par contre, pour les pôles d'ordre supérieur voire les singularités essentielles, alors, il te faut utiliser le développement en séries de Laurent.

mathieu64

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Re : integrale complexe

Merci thadrien,

C'est que pour les pôles d'ordre supérieur ça se complique vite la "methode de la limite"? et je suis toujours preneur si quelqu'un me donne le résultat (toujours sans la démarche pour l'instant )

merci bien.
Bonne journée.

Dernière modification par mathieu64 (24-04-2011 13:35:46)

Groupoid Kid

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Re : integrale complexe

Résidu en i : 1/(4e)
Résidu en -i : -e/4

mathieu64

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Re : integrale complexe

Merci c'est sympa.

Groupoid Kid

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Re : integrale complexe

Pas de problème.

J'aimerais savoir ce que vous entendez par "méthode de la limite" ? Je ne me souviens que d'une méthode pour le calcul des résidus (en dehors du "j'le connais déjà"), c'est de dériver le bon nombre de fois la fonction désingularisée. Ça prend 2n minutes à faire (n l'ordre du pôle ^^) et il me semble que ça marche tout le temps ?

mathieu64

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Re : integrale complexe

oui je fais référence à la méthode que tu décris ( désolé j'ai un peu du mal à vouvoyer sur un forum mais si tu préfères pas de souci). Et ici c'est ce que tu as fait ou tu as utilisé un développement en série de Laurent?

Groupoid Kid

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Re : integrale complexe

Non, non, c'est bien ce que j'ai fait ^^ C'est extrêmement simple ici, puisque la partie singulière de la fonction est déjà sous forme de fraction rationnelle. On multiplie par [tex](z-i)^2[/tex], puis on dérive, on évalue en i, et c'est fini ! Et je confirme en 4 minutes ça se fait largement ^^

Pour le tutoiement pas de soucis ;-)

Fred

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Re : integrale complexe

Salut,

Pourquoi utiliser des "gros mots" et parler de développement en série de Laurent.
Tout ce qu'on a besoin, ici, c'est de faire un développement limité et de trouver le terme
devant 1/(z-i), puis celui devant 1/(z+i).
L'expérience montre qu'on fait souvent moins d'erreurs en appliquant cette méthode, sauf si on a déjà une fraction rationnelle, auquel cas c'est quand même assez facile de faire comme Groupoid le suggère.

Fred/

mathieu64

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Re : integrale complexe

merci à vous 2 et j'aime bien la notion de gros mots ;-)

mathieu64

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Re : integrale complexe

A j'ai mis un peu de temps (c'est les révisions y a pas mal de taf) avant de me remettre à celui là et  je trouve les bons résultats. Effectivement c'est pas très compliqué avec la méthode de la limite mais encore merci quand on l'a jamais fait c'est vraiment cool d'avoir une correction histoire de voir qu'on fait pas n'importe quoi.
Sur ce bonne soirée.

Dernière modification par mathieu64 (26-04-2011 23:33:13)