Les vases communicants ...

totomm · 22-04-2011 17:48:46

re,

toutes les valeurs n différentes de 4n+2 (testé jusqu'à n=40) ont une solution qui n'utilise que 2 urnes jusqu'à l'étape n-1, la troisième restant à 0.
il faut ajouter n=7 à cette liste.

freddy · 22-04-2011 19:34:23

totomm a écrit :

Bonjour,
@ yoshi
J'ai mis mon code VBasic dans le forum "programmation" pour ne pas encombrer celui-ci
espérant qu'il sera suffisamment compréhensible...
@freddy : Pourquoi s"emballer, je n'ai jamais prétendu faire de l'intelligence artificielle !
je n'ai jamais parlé de démonstration pour toutes valeurs de n
j'ai simplement concocté un petit programme pour y voir plus clair après les réactions dans les premiers post, et post #4 en particulier
Je trouve que jpp a très bien commencé à traiter le problème, mais qu'il est intéressant de voir comment peuvent s'élaborer d'autres cheminements
freddy a écrit :
je réalise que ce programme de recherche "force brute" est la négation même de toute forme de pensée élaborée.
Bien sûr qu'un programme ne fait que présenter des résultats, mais il a fallu penser correctement pour obtenir des résultats pertinents...
Il faut quand même convenir qu'utiliser un bon outil aide la pensée à "devenir plus élaborée", et non le contraire !
Alors, freddy, quelle est votre approche de ce problème ?
Cordialement

Analyse rétrograde ...

totomm · 22-04-2011 20:30:59

re,

j'ai donc compris :

il faut porter un chapeau (post #7) rétrograde (post #27) en attendant les moyens de réussir cette analyse.

Cordialement, en gardant le sourire.

freddy · 22-04-2011 22:50:33

'lut,

"analyse rétrograde" renvoie à une méthode d'analyse échiquéenne : on essaie de trouver comment on est logiquement arrivé à une position donnée.

Une piste ici serait de voir, pour n donné, comment en signant convenablement 1, 2, 3, ... (n-1), le total algébrique donne (-n) de telle sorte qu'à l'étape (n-1), on ait 3n-n=2n.

Ainsi, pour n = 4, c'est impossible par exemple.

See u soon

totomm · 23-04-2011 08:48:17

Bonjour,

Voici un sous-problème qui résoud les 3/4 du problème global, et bien plus facile à résoudre :

Soit une chaîne dont les (n-1) maillons successifs rigides ont des longueurs de 1 à (n-1).
Une extrémité de la chaîne est attachée sur une demi-droite Ox au point 3n.
Peut-on la replier, tous ses maillons étant en entier sur la demi-droite Ox de façon que
L'autre extrémité soit sur l'un des points n ou 2n ?

Cela fait penser, en bien plus simple, à l'ardu problème du repliement et déploiement des gènes...

Cordialement

totomm · 23-04-2011 08:54:44

re,

@ freddy :
Mille excuses, j'avais pris "analyse rétrograde" pour un jugement négatif,
c'etait apparemment une suggestion, et je m'étais effectivement déjà aventuré dans cette direction...
Cordialement

jpp · 23-04-2011 08:57:21

Bonjour.

alors si [tex] \frac{n.(n-1)}{2} = p.n [/tex] avec p = 2 , tous les termes

sont négatifs ex. [tex] n = 5 -----> 2n = 10 ----> -2n = -1 - 2 - 3 - 4[/tex]

si p est pair et [tex] p > 2[/tex] [tex] n = 9 ---> 4n = 36 ---> -1 +2 -3 +4 + 5 ... +(n-2) - (n-1) = 0 [/tex] car à [tex] (n-1) [/tex] on revient au départ

si [tex] \frac{n.(n-1)}{2} = i.n [/tex] avec i impair alors [tex] -n = -1 +2 -3 ... +(n-2) - (n-1)[/tex]

si [tex] \frac{n.(n-1)}{2} = p.n + r [/tex] alors on écrit d'abord

[tex] -n = -1 + 2 - 3 + 4 -...... -r ... +(n-2) - (n-1) [/tex]

puis on inverse le signe des termes de rang [tex] \frac{r}{2} , \frac{r}{2}+1 [/tex] ainsi que leurs symétriques dans la liste.

exemple [tex] n = 8 ----> \frac{n.(n-1)}{2} = 28 = 3.n + 4 [/tex]

alors [tex] -n = -1 -(+2) -(-3) -((4)) - 5 -(+6) - (-7) = -8 [/tex]

il y a peut-etre plus simple comme explication ; mais je n'ai trouvé que celle là.

Dernière modification par jpp (23-04-2011 16:15:21)

totomm · 23-04-2011 10:03:35

re,

D'après cette analyse, r est impair pour les nombres n=4*k+2, l'inversion du signe des termes de rang r/2 est donc impossible pour les nombres n=10, 14, 18 ….ce qui semble rejoindre les observations post #26

Cordialement

jpp · 23-04-2011 10:10:32

bonjour Totomm

c'est vrai que r peut etre impair. alors je cherche pour modifier ensuite

jpp · 24-04-2011 10:15:33

Bonjour a tous.

Je prend l'exemple [tex] n = 8 [/tex]

Alors [tex] \frac{n.(n-1)}{2} = 3.n + 4 [/tex]

Il vient [tex] -n = -\frac{n.(n-1)}{2} + 2.n + 4 [/tex]

[tex] -n = -1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 +(2 \times{8}) + 4 [/tex]

pour ajouter 4 il suffit de changer le signe de -2 et pour ajouter [tex] 2\times{8}[/tex]

il suffit de changer les signes de [tex] -3\;\;et -5 [/tex]

Alors [tex] -n = - 1 + 2 + 3 - 4 + 5 - 6 - 7 = - 8 [/tex]

ce serait l'ordre de transfert des boules de l'urne 1 à l'urne 2 jusqu'à [tex] n - 1 [/tex]

on aurait [tex] 2.n [/tex] boules dans l'urne 1 et [tex] n. [/tex] boules dans l'urne 2

à la [tex] n^{ieme}[/tex] on a bien 8 boules dans chaque urnes.

Dernière modification par jpp (24-04-2011 11:44:32)

jpp · 24-04-2011 10:26:44

re.

Pour [tex] n = 4 -----> - n = -\frac{n.(n-1)}{2} + 2 = - 1 - 2 - 3 + 2[/tex]

il faut donc chager le signe de [tex] - 1 [/tex] qui conduit à [tex] + 1 - 2 - 3 [/tex]

c'est impossible car il ne peut etre prélevée aucune boule dans une urne vierge.

Dernière modification par jpp (24-04-2011 10:27:20)

freddy · 24-04-2011 11:08:08

Salut jpp,

n'oublie pas non plus qu'on peut avoir un 0 dans la suite car on peut échanger des boules entre les deux autres urnes. C'est un peu leur rôle.

Oui, c'est un sujet un peu "velu", mais pas insoluble.

Dernière modification par freddy (24-04-2011 11:09:51)

jpp · 24-04-2011 13:59:06

Re

Pour en revenir à l'exemple [tex] n = 8 [/tex] rappel de la formule

[tex] - n = -\frac{n..(n-1)}{2} + 2.n + 4 [/tex] remarque: les [tex] \|[/tex] marquent un changement

d'urne

[tex] - n = \| -1 \| - 2 - 3 \| 0(-4+4 transf. U_2--->U_1)\| - 5 - 6\| - 7\|[/tex]

[tex] U_1 U_2 U_1 U_2[/tex]

pour [tex] n = 6 ----> - n = -\frac{n.(n-1)}{2} + n + 3 [/tex]

alors [tex] - n = \| - 1 - 2 \| 0 (-3+3 transf. U_1---> U_2) \| - 4 - 5 \|[/tex]

avec [tex] U_1 [/tex] [tex] U_2[/tex]

[tex] N = 10 ----> - n = -\frac{n.(n-1)}{2} + 3.n + 5[/tex]

Pour [tex] N = 10 -----> - n = \| - 1 - 2 - 3 \| - 4 \| 0 (-5+5 transf. U_1--->U_2) \| - 6 - 7 - 8 \| - 9 \|[/tex]

avec [tex] U_1 U_2 U_2 U_1[/tex]

Dernière modification par jpp (24-04-2011 14:49:04)

totomm · 24-04-2011 17:42:34

Bonjour,

Etant donné N, je pense pouvoir prouver l'existence d'au moins une solution pour N en ramenant à une solution pour n plus petit (raisonnement per récurrence)
Sachant trouver une solution pour n assez petit > 4...
Mais sans doute y a-t-il mieux !

cordialement

freddy · 24-04-2011 18:10:41

Salut,

comment ferais tu ?

totomm · 24-04-2011 21:18:03

Bonsoir,

si à l'étape (n-1) une urne contient n (et une autre 2n), on continue :
étape n on ajoute n pour que l'urne contienne 2n
étape n+1 on enlève (n+1) et étape n+2 on ajoute (n+2), l'urne passe à 2n+1

après 2k étapes on arrive à l'étape N=n+2k où l'urne contient 2n+k=N+1
Ainsi après 2k=2(n-1) étapes, si on avait une solution pour n, on a aussi une solution pour N...
A consolider, c'est une idée pour le moment
Avez-vous mieux ?

Cordialement

jpp · 25-04-2011 07:52:48

bonjour
@Totomm tu écris:

si à l'étape (n-1) une urne contient n (et une autre 2n), on continue :
étape n on ajoute n pour que l'urne contienne 2n

l'étape (n) c'est la dernière et de [tex] U_0 = 0 \;; U_1 = n \;; U_2 = 2n[/tex] on doit passer

à [tex] U_0 = n \;; U_1 = n\;; U_2 = n[/tex]

Alors à l'étape (n) , de 0 - n - 2n tu passes à 0 - 2n - n ?

totomm · 25-04-2011 11:04:50

Bonjour,

Prémisses fausses, résultat faux. Car s'il y a 3n au départ dans les 3 urnes, il n'y aura pas 3N en final
donc calcul juste sur une urne, mais récurrence fausse. J'en suis honteux ! Je me suis trop précipité hier au soir et n'ai pas pu corriger au petit matin...

cordialement.

jpp · 25-04-2011 14:12:09

Re

Ce n'est pas évident de trouver une formule qui unifie tout celà

Si je prend [tex] n = 9 [/tex] alors [tex] -2n = -\frac{n.(n-1)}{2} + 2n[/tex]

alors [tex] -2n = \| - 1 - 2 \| 0 ( -3 +3 )U_1--->U_2\| - 4 - 5 - 6 \| 0 (-7 - 8 +7 +8 )U_1--->U_2\|[/tex]

[tex]U_1 U_1[/tex]

j'ai donc retiré [tex] 2n de U_0[/tex] et déplacé aussi [tex] 2n\; \; de\; \; U_1 ----> U_2[/tex]

Dernière modification par jpp (25-04-2011 15:08:15)

jpp · 25-04-2011 14:53:45

Re.

c'est un chouia plus corsé avec [tex] n = 19[/tex]

pour retirer [tex] 2n \; \; de \; \;U_0[/tex] alors [tex] -2n = -\frac{n.(n-1)}{2} + 7n[/tex]

[tex] -2n = \| - 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 \| 0 (-8-9+8+9) U_1->U_2\| - 10 \|0(-11+11)U_2->U_1\|0(-12-13+12+13)U_1->U_2\|[/tex]

[tex]U_1 U_1[/tex]

[tex]\| 0(-14-15+14+15)U_2-->U_1| [/tex]

[tex]\|0(-16+16)U_1->U_2\|0(-17+17)U_2->U_1\|0(-18+18)U_1->U_2\|[/tex]

dans ce cas là j'ai bien déplacé [tex] 4n \; de \; U_1 ----> U_2\; \;et 3n \; \; de \; U_2---->U_1[/tex]

Dernière modification par jpp (25-04-2011 15:05:37)

totomm · 25-04-2011 18:18:49

bonsoir,

Bon, La famille venue pour Pâques est repartie, il n'y a plus de précipitation. Reprenons donc la récurrence.

Admettons que nous ayons 3 urnes contenant (0, n, 2n) à l'étape n-1 : C'est une solution pour n.

Nous pouvons supposer que nous ayons ajouté (6n-3) boules au départ (avant l'étape 1) dans l'urne qui se retrouve avec 2n : Cette urne contient 2n +(6n-3) = 8n-3 boules à l'étape n-1 et les transferts ont été effectué de même façon de l'étape 1 à l'étape n-1 qu'en absence de ces boules supplémentaires.
Avec l'urne qui contient n boules, on a au total (9n-3) boules.

On peut donc effectuer [1+2(n-1)] étapes supplémentaires pour arriver à l'étape (3n-2) en ayant ajouté n +(n-1) à n
soit un total dans cette urne de (3n-1) et dans l'autre un total de (6n-2).
C'est donc bien une solution pour N=3n-1 obtenue de façon connue à partir de la solution connue pour n.

Je n'avais donc pas à me méfier ce matin de mon intuition fugitive d'hier au soir
Cordialement

jpp · 25-04-2011 19:35:20

Re.

si on prend par exemple [tex] N = 8 = 3n - 1 [/tex] avec [tex] n = 3[/tex]

avec [tex] n = 3 ---> - 2n = -1 - 2 - 3 [/tex]

mais avec [tex] N = 8 [/tex] ce n'ai pas aussi évident .

je reprend l'exemple avec [tex] n = 19 [/tex] avec 2 urnes seulement . j'écris les 2 solutions

suivantes qui ne font utiliser que 2 urnes.

[tex] 57 - 1 - 2 - 3 + 4 - 5 + 6 - 7 + 8 - 9 - 10 - 11 + 12 - 13 + 14 + 15 - 16 + 17 - 18 [/tex]

[tex] 57 - 1 - 2 - 3 - 4 + 5 - 6 - 7 - 8 - 9 - 10 + 11 + 12 - 13 + 14 - 15 + 16 - 17 + 18[/tex]

dans la méthode demandée laquelle est la bonne ? peut-etre aucune des deux.

Dernière modification par jpp (25-04-2011 19:36:11)

totomm · 25-04-2011 21:28:56

Bonsoir,

jpp a écrit :

si on prend par exemple N=8=3n-1 avec n=3

ajoutons 6n-3=15, Cela donne :
étape 1 : 8 1 0 qui donne 23 1 0
étape 2 : 6 3 0 qui donne 21 3 0
étape 3 : 18 6 0
étape 4 : 22 2 0
étape 5 : 17 7 0
étape 6 : 23 1 0
étape 7 : 16 8 0 et bien sûr étape 8 : 8 8 8
La récurrence marche bien...
Ajoutons, et c'est indispensable pour asseoir la récurrence, que l'on sait produire, pour n=6 jusqu'à plus de 40, au moins une solution où c'est la première urne contenant 3n au départ qui se retrouve contenir 2n à l'étape n-1.
Mais il y a encore 2/3 des N à remplir...

Cordialement

totomm · 26-04-2011 15:35:27

Bonjour,

Si on connait une solution pour n, on en déduit une solution pour N=3n-1 ou N=3n ou N=3n+1 en appliquant +1 et -1 par groupes successifs de 2 étapes successives.
Le problème est donc entièrement résolu pour tout N car l'on sait disposer de solutions appropriées pour les premières valeurs de n (au moins jusqu'à n=30) et se ramener à une de ces premières valeurs pour remonter à N.

Cordialement

jpp · 27-04-2011 06:12:22

bonjour

je pense à une stratégie , mais ce matin je n'ai pas le temps ; travail oblige.

A ce soir.

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#26 22-04-2011 17:48:46

Re : Les vases communicants ...

#27 22-04-2011 19:34:23

Re : Les vases communicants ...

#28 22-04-2011 20:30:59

Re : Les vases communicants ...

#29 22-04-2011 22:50:33

Re : Les vases communicants ...

#30 23-04-2011 08:48:17

Re : Les vases communicants ...

#31 23-04-2011 08:54:44

Re : Les vases communicants ...

#32 23-04-2011 08:57:21

Re : Les vases communicants ...

#33 23-04-2011 10:03:35

Re : Les vases communicants ...

#34 23-04-2011 10:10:32

Re : Les vases communicants ...

#35 24-04-2011 10:15:33

Re : Les vases communicants ...

#36 24-04-2011 10:26:44

Re : Les vases communicants ...

#37 24-04-2011 11:08:08

Re : Les vases communicants ...

#38 24-04-2011 13:59:06

Re : Les vases communicants ...

#39 24-04-2011 17:42:34

Re : Les vases communicants ...

#40 24-04-2011 18:10:41

Re : Les vases communicants ...

#41 24-04-2011 21:18:03

Re : Les vases communicants ...

#42 25-04-2011 07:52:48

Re : Les vases communicants ...

#43 25-04-2011 11:04:50

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#44 25-04-2011 14:12:09

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#45 25-04-2011 14:53:45

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#46 25-04-2011 18:18:49

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#50 27-04-2011 06:12:22

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