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mathieu64

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transfo de fourier inverse

Bonjour,

J'ai un peu de mal à comprendre ce que dit le théorème de transformé de fourier inverse. Est ce que si je prends une fonction L1 et que j'applique la transformée inverse et que je tombe sur une fonction L1 alors j'ai bien trouvé la fonction dont la transformé de fourier est ma fonction de départ? Parce que dans mon énoncé du théorème il suppose que la fonction et ça transformé de fourier son L1 mais dans le cas ou j'ai juste la transformé de fourier et pas celle de départ je sais pas ce qu'on peut dire.
J'aimerais également  savoir si une fonction f n'appartient pas à L1(R),  peut on en conclure que la loi de X de fonction caractéristique f n'est pas à densité?

Merci bien pour vos réponses je suis pas du tout à l'aise sur le sujet des transformés de fourier. C'est une des parties du cour que je trouve dure à assimiler.

Ps:  J'ai éffacé une partie du post j'ai  fini par résoudre une bonne partie de mes problèmes donc je présente mes excuses aux personnes qui auraient cherchée une réponse.

Dernière modification par mathieu64 (21-04-2011 17:24:08)

Fred

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Re : transfo de fourier inverse

Salut,

  Si tu sais que ta fonction est une transformée de Fourier, [tex]g=\hat f[/tex], c'est forcément que la fonction de départ est dans L1 puisqu'on ne calcule que des transformées de Fourier de fonctions de L1.

Concernant ta deuxième question, effectivement, si la fonction caractéristique de X n'est pas dans L1, ce n'est pas une loi à densité (sinon ce serait la transformée de Fourier inverse de la densité, donc une fonction de L1...)

Fred.

mathieu64

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Re : transfo de fourier inverse

Merci mais une fonction prise au hasard dans L1 n'est pas forcement la transformée de fourier d'une fonction.?C'était plus le sens de ma question. Je vois pas trop du coup comment on utilise le théorème ou alors on l'utilise dans dans un espace ou la transfo de fourier est une bijection genre S(R^n)?

Groupoid Kid

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Re : transfo de fourier inverse

Bonsoir mathieu, Fred ne t'ayant pas convaincu je me permet de te livrer mon point de vue :-)

Ces histoires de transformées inverses me mettent la tête à l'envers ^^ Je préfère voir la transformée de Fourier et son inverse comme la même opération, ça m'évite pas mal de prises de tête (il suffit de bien choisir les contantes).

Ton théorème est très basique : il te dit que sous réserve que les objets existent (pour parler de [tex]\hat{f}[/tex] il te faut f L1 et pour parler de [tex]\hat{\hat{f}}[/tex] il te faut [tex]\hat{f}[/tex] L1), ce que tu penses être égal l'est effectivement : [tex]\hat{\hat{f}}=f[/tex] (au sens L1 et modulo les constantes bien entendu).
Formellement : si on note [tex]\mathcal{F}:L^1\to Mes(R^d)[/tex] la transformée de Fourier L1, la composée [tex]\mathcal{F}^2[/tex] est définie sur [tex]L^1\cap\mathcal{F}^{<-1>}(L^1)[/tex] et vaut l'identité sur cet espace.

Ensuite, je comprends que tu sois décontenancé : mais à quoi il sert ce théorème alors ? Bin comme toujours : soit en théorie, soit en pratique. Si tu l'utilises pour la théorie ou bien tu sauras par avance que tes fonctions marcheront, ou bien selon toute vraisemblance tu passeras par un sous-espace dense de L1 adapté, et tu étendras tes résultats par densité.
Si tu l'utilises pour une fonction f donnée (forcément L1), tu vas commencer par calculer sa transformée, et une fois que c'est fait si tu veux transformer [tex]\hat{f}[/tex] à son tour il faudra bien que tu vérifies si cette dernière est L1... et là le théorème te dit que c'est fini : si tu vérifies l'hypothèse L1, tu n'as pas besoin de calculer la transformée seconde : ce sera forcément f.

EDIT : après vérification j'ai dit une grosse bêtise, il y a une histoire de - avec la transformée inverse, mais globalement ça ne change pas grand chose ^^;

Dernière modification par Groupoid Kid (22-04-2011 12:10:22)

mathieu64

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Re : transfo de fourier inverse

Ok merci à vous 2, ça s'éclaircit. Encore une question: si je connais une loi par sa fonction caractéristique est ce que la seule manière de voir que c'est une loi à densité c'est    1) Vérifier que la fonction caractéristique est L1
                                                                                     2) Vérifier que la transformé de fourier de la fonction caractéristique est L1 comme ça la transfo inverse de ma densité de loi est bien ma fonction caractéristique.
J'imagine également que si on calcule ensuite l'intégrale de x*f(x) sur R ou f est la densité trouvée on trouve 1 mais ce miracle se produit car l'exo supposait déjà plus ou moins ce résultat. Bon j'avoue que dans cette dernière affirmation j'ai un peu l'impression d'avoir écrit un gag.

En tout cas merci de votre aide

Dernière modification par mathieu64 (22-04-2011 08:04:49)

mathieu64

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Re : transfo de fourier inverse

c 'est bon j'ai mes réponses merci pour l'aide