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boubamane

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Equation différentielle du premier ordre avec second membre

Bonjour à tous,
j'ai l'équation différentielle  [tex]y'-xy=x^3\;\;(1)[/tex] que je dois résoudre pour en donner une solution particulière.
J'ai commencé par déterminer la solution générale sans second membre en mettant
[tex]y'-xy=0[/tex]   [tex]\Rightarrow y'=xy\;\;\Rightarrow \frac{y'}{y}=x\Rightarrow \int^{}_{}\frac{y'}{y}\;dy=\int^{}_{}x\;dx\Rightarrow ln|y|=\frac{x^2}{2}[/tex] et là je sais pas si je dois considérer [tex]y >0 [/tex] et continuer pour la solution générale ou s'il y a des conditions à définir sur [tex]y[/tex] c'est à dire avoir deux solutions générales selon le signe de [tex]y[/tex].
Merci d'avance et bonne journée.

Fred

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Re : Equation différentielle du premier ordre avec second membre

Bonjour,

  D'après le théorème de Cauchy, si tu as une solution qui s'annule en un point, c'est forcément la solution nulle.
Si tu cherches les solutions non-nulles, tu te contentes d'écrire [tex]y'/y=x[/tex], que tu intègres en [tex]\ln|y|=x^2/2+C[/tex] et tu prends ensuite l'exponentielle. La solution générale est donc de la forme [tex]K\exp(x^2/2)[/tex]

Fred.

MOHAMED_AIT_LH

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Re : Equation différentielle du premier ordre avec second membre

Bonjour

@Boubamane : La  réponse  de  Fred  est  clair  mais  j  suppose  que  le  thm  de  Cauchy n'est  pas  vu ...
Si  c'est  bine  le cas tu as  deux  possibilité
Soit  utiliser  directement  le  cours que  te  dit  que  la  solution  générale  de   y'=a(t)  y  est   ....
Soit  précéder  de  façon  qui  évite  de 'diviser'  par   y   car  ce  n'est pas  justifié  (  c'est  justifié  quand  on utilise  le  théorème  de  Cauchy )
Je  comprends  que  ton  problème   est  que   tu  as  une  valeur  abolue  et tu  te demande  la quelle  des  branches tu  vas  prendre.

J'essaye  de  te  répondre  comme   suit  :

Tu  trouves [tex]\ln |y| = \frac{x^2}{2}  [/tex]. En  réalité  c'est  [tex]\ln |y| = \frac{x^2}{2} + c [/tex]   avec [tex] c [/tex] une constante  réelle  dès  lors  :  [tex]y(x)=\pm e^c  \exp(\frac{x^2}{2})  [/tex]  et   là   tu  remarques  que  les  deux  branches sont  présentes [tex] \pm e^c [/tex]  décrit  [tex] {\mathbb R}^* [/tex]  quand  [tex] c [/tex]  décrit  [tex]  {\mathbb R}[/tex].
Seulement  on  peut  montrer  que  l'on  a   uniquement  ces  deux  branches à  cause  de  la  régularité  des  solutions (on  demande qu'elles  soient  de  classe  [tex] C^1 [/tex])

Cette  derniére précision vient  car  on  peut  se demander  si  on  prends  la  fonction  définie  par   [tex] f(x)=7 \exp(\frac{x^2}{2}) [/tex]  si   [tex] x > 0 [/tex]   et   [tex]  f(x)= -9 \exp(\frac{x^2}{2}) [/tex] sinon, ne  peut   on   pas   dire  que  [tex] f [/tex]  est   une  solution ?
Une   réponse  est  que  les  restrictions  de  [tex] f [/tex]  à   tout  intervalle  [tex] J [/tex]   contenu  dans [tex] ]-\infty,0] [/tex]   ou   dans  [tex] ]0,+ \infty[ [/tex]  sont  bien  des   solutions  sur  ces  intervalles  mais  on  cheche  les   solutions  sur  [tex] {\mathbb R} [/tex]   tout    entier  et   on  veut  qu'elles  soient  de  classe [tex] C^1 [/tex].  cela  n'est   possible  que  si  l'on  peut  faire   un  raccordement,  ce   qui  est   possible  uniquement  si  la  constante  est  la  même   partout ....

Mohamed

Dernière modification par MOHAMED_AIT_LH (14-04-2011 15:32:39)

boubamane

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Re : Equation différentielle du premier ordre avec second membre

Bonsoir,
alors si je comprends bien, j'ai
[tex]ln|y|=\frac{x^2}{2}+C\Rightarrow e^{ln|y|}=e^{{ \frac{x^2}{2}}+C}[/tex] [tex]\Rightarrow |y|=Ke^{\frac{x^2}{2}}[/tex] et là on aura [tex]y=Ke^{\frac{x^2}{2}}[/tex]
comme solution générale. C'est bien ça ? Bien mon problème c'est surtout la règle qui permet d'enlever les barres de valeur absolue!!!
Merci de m'avoir éclairé vous m'avez remis sur les rails.
Bonne soirée a+.

Dernière modification par boubamane (11-11-2011 05:24:39)

MOHAMED_AIT_LH

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Re : Equation différentielle du premier ordre avec second membre

Bonsoir:

C'est  plutôt [tex]|y|= K \exp(-\frac{x^2}{2})  [/tex] avec [tex] K>0 [/tex] donc [tex]y = \pm K \exp(-\frac{x^2}{2} ) [/tex]

Et ce  [tex]\pm  [/tex] est  ambigu  car  il  peut  dire prendre  [tex]y = -K \exp(-\frac{x^2}{2} ) [/tex] sur  des  intervalles  et  [tex]y = + K \exp(-\frac{x^2}{2})  [/tex] sur d'autres.
Si  tu  lis  bien  en  haut  ,  j'ai  expliqué  pourquoi  cette  ambiguité est enlevée ...

Dernière modification par MOHAMED_AIT_LH (15-04-2011 00:45:28)

boubamane

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Re : Equation différentielle du premier ordre avec second membre

Salut,
Ah je vois que ce soit +K ou -K ça reste une constante et je peux poursuivre le raisonnement pour déterminer la solution particulière. Merci et je m'y mets tout de suite.

boubamane

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Re : Equation différentielle du premier ordre avec second membre

La solution générale est donc de la forme [tex]y=Ke^{\frac{x^2}{2}}[/tex].
Soit  [tex]{y}_{0}\left(x\right)[/tex]  une solution particulière par variation de la constante,
[tex]{y}_{0}\left(x\right)=K\left(x\right)\,\times \,{e}^{\frac{{x}^{2}}{2}}[/tex] et la dérivée sera
[tex]{y}^{'}_{0}\left(x\right)={\left(K\left(x\right)\,\times \,{e}^{\frac{{x}^{2}}{2}}\right)}^{'}={\left(K\left(x\right)\right)}^{'}\times \,{e}^{\frac{{x}^{2}}{2}}+xK\left(x\right)\,\times \,{e}^{\frac{{x}^{2}}{2}}[/tex]
L'équation  [tex]{y}^{'}-xy={x}^{3}\left(1\right)[/tex] devient alors:
[tex]{K}^{'}\left(x\right)\,{e}^{\frac{{x}^{2}}{2}}+\,x\,.\,K\left(x\right)\,{e}^{\frac{{x}^{2}}{2}}-\,x\,.\,K\left(x\right)\,{e}^{\frac{{x}^{2}}{2}}={x}^{3}[/tex]   [tex]\Rightarrow {K}^{'}\left(x\right)\,\,{e}^{\frac{{x}^{2}}{2}}={x}^{3}[/tex] 
Et puis on cherche K(x) c'est bien ça ?

Dernière modification par boubamane (11-11-2011 04:56:38)

Fred

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Re : Equation différentielle du premier ordre avec second membre

Je n'ai pas vérifié les calculs, mais c'est cela!

boubamane

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Re : Equation différentielle du premier ordre avec second membre

Bonjour à tous,
Voilà je vais essayer de poursuivre à partir de [tex]{K}^{'}\left(x\right)\,\,{e}^{\frac{{x}^{2}}{2}}={x}^{3}\Rightarrow \;{K}^{'}\left(x\right)\,\,=x^3/exp(\frac{x^2}{2})=x^3\times exp(\frac{-x^2}{2})[/tex] et pour avoir K(x) j'intègre.
[tex]{K}^{}\left(x\right)\,\,=\int^{}_{}x^3\times exp(\frac{-x^2}{2})\;dx[/tex]. Et là j'ai eu des problèmes pour trouver une primitive de [tex]exp(\frac{-x^2}{2})[/tex], j'ai alors transformé léecriture pour mettre:  [tex]{K}^{}\left(x\right)\,\,=\int^{}_{}x^3\times exp(\frac{-x^2}{2})\;dx=\int^{}_{}x^2\times x.exp(\frac{-x^2}{2})dx[/tex] on fait alors une intégration par partie en posant:  [tex]u\left(x\right)={x}^{2}\,\,\Rightarrow \,\,\,{u}^{'}_{}\left(x\right)=2x[/tex]  et  [tex]{v}^{'}\left(x\right)=x\,.\,\exp \left(\frac{-{x}^{2}}{2}\right)\,\,\Rightarrow \,\,\,v\left(x\right)=\,-\,\exp \left(\frac{-{x}^{2}}{2}\right)[/tex]
On a alors  [tex]K\left(x\right)=-x^2\;\times exp(\frac{-x^2}{2})-\int^{}_{}-2x.\times \;exp(\frac{-x^2}{2})dx=-x^2\;\times exp(\frac{-x^2}{2})+2\int^{}_{}x.\;exp(\frac{-x^2}{2})dx[/tex]
On fait encore une fois une intégration par partie en posant:  [tex]{u}^{}_{1}\left(x\right)=1\,\Rightarrow \,{u}^{'}_{1}\left(x\right)=0\,\,et\,\,{v}^{'}_{1}\left(x\right)=x\,.\,\exp \left(\frac{-{x}^{2}}{2}\right)\,\,\Rightarrow \,{v}_{1}\left(x\right)=\,-\exp \left(\frac{-{x}^{2}}{2}\right)[/tex]
on a alors [tex]\int^{}_{}x.\;exp(\frac{-x^2}{2})dx=-exp(\frac{-x^2}{2})-0[/tex]
On trouve alors [tex]K\left(x\right)=-x^2\;\times exp(\frac{-x^2}{2})-2\times exp(\frac{-x^2}{2})[/tex] et en factorisant par  [tex]-epx\left(\frac{-{x}^{2}}{2}\right)\,on\,obtient\,K\left(x\right)=-\exp \left(\frac{-{x}^{2}}{2}\right)\left(x^2+2\right)[/tex]
Et en remplaçant K(x) par sa valeur dans la solution générale on a:  [tex]{y}_{0}\left(x\right)=\left(-\exp \left(\frac{-{x}^{2}}{2}\right)\left(x^2+2\right)\right)\times \left(exp(\frac{x^2}{2})\right)[/tex]
Ce qui donne après simplification [tex]{y}_{0}\left(x\right)=-(x^2+2)[/tex]
Bon j'ai peut etre fais une erreur de calcul mais le raisonnement est-ce comme ça ?
Merci à tous et  a+.

Fred

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Re : Equation différentielle du premier ordre avec second membre

Il y a un moyen très simple de vérifier que tu as juste, c'est de tester si ta fonction y0 est solution de l'équation différentielle.
Et miracle, cela fonctionne!

A+
Fred.

boubamane

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Re : Equation différentielle du premier ordre avec second membre

Salut,

oui je viens de vérifier j'y avais même pas pensé :
en faisant  [tex]\frac{d}{dx}\left({y}_{0}\left(x\right)\right)-x\,\times \,{y}_{0}\left(x\right)[/tex] on trouve exactement [tex]x^3[/tex] ce qui correspond au second membre.

Merci a+

MOHAMED_AIT_LH

Invité

Re : Equation différentielle du premier ordre avec second membre

Bonjour
@Boubamane
Tu n'as rien dit à propos du théorème de Cauchy utilisé ci-dessus par Fred.
Je veux simplement savoir si ce théorème figure dans votre programme
Au  cas  où il ne figure pas voici une ménière dé résoudre l'équation homogène sans 'diviser' par [tex] y [/tex] .

Considéron l'equation différentielle [tex]y'=a(t)y  [/tex] d'inconnue  [tex]y[/tex] où [tex] a [/tex] est une fonction continué sur un intervalle [tex]I[/tex]. Soit alors [tex]A[/tex] une  primitive de [tex]a[/tex]  sur  [tex]I[/tex]. On  peut  par  exemple prendre [tex] A(t)=\int_{t_0}^t a(u) du [/tex]  avec  [tex] t_0 \in I [/tex]  quelconque.
Supposons que [tex]y[/tex] est une solution de notre équation sur [tex]I[/tex] et soit alors  [tex] z [/tex]  la  fonction   définie par [tex] z(t)=y(t)e^{-A(t)} [/tex]. Alors : [tex]z[/tex]  est dérivable sur [tex]I[/tex]  et  pour  tout [tex]t \in I[/tex] on  a [tex]z'(t)=-a(t)y(t)e^{-A(t)} +y'(t)e^{-A(t)} =0[/tex]. Il en résulte que [tex] z [/tex] est constante  sur [tex]I[/tex].
Alors il  eixtse une constante réelle [tex]C[/tex] tel  que [tex]y(t)=C e^{A(t)}[/tex]. Réciproquement une telle fonction  est  bien  solution de l'équation différntielle en question, d'où l'ensemble de solution de cette équation différentielle est  [tex] {\mathscr S}=\{t \mapsto C e^{A(t)} / C \in {\mathbb R} \} [/tex]

Remarque :
Ceci  est valable pour  le  cas  complexe  (la fonction [tex]a[/tex]  à  valeurs  dans [tex]{\mathbb C}[/tex] et   les  solutions sont  cherchées dans [tex]{\mathcal C}^1(I, {\mathbb C})[/tex] )

Dernière modification par MOHAMED_AIT_LH (15-04-2011 18:25:14)

boubamane

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Re : Equation différentielle du premier ordre avec second membre

Salut,
@MOHAMED_AIT_LH
non j'ai pas vu ça. Mais je vais revoir le cours et j'étais même étonné de voire que mon résultat vérifie l'équation.
Merci je m'y mets dans une heure!

MOHAMED_AIT_LH

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Re : Equation différentielle du premier ordre avec second membre

Bonsoir

@Boubamane

Je veux  juste  attirer  ton  attention  sur  un  détail  concernant  la  recherche d'une solution  particulière des équations différetielles de  la  forme :  [tex]y'-a(t)y=g(t)[/tex]  dans les car  où [tex]a[/tex] et [tex]g[/tex]  sont des fonctions polynomiales , il  sera  profitable de chercher  directement  des solutions polynomiales elle aussi
Dans notre exemple :  [tex]y'-xy= x^3[/tex] si [tex]y_0[/tex]  est  une  solution  polynomiale alors  son  degré  doit être égal à [tex]2[/tex] (tu  peux  facilement  savoir  pourquoi , sinon tu  le  signales ..)
Posons donc [tex]y_0(t)=at^2+bt+c[/tex]
Je te laisse le  soin  de  calculer [tex]y'[/tex], remplacer dans l'équation complète et  determiner les  coefficients [tex]a,b,c[/tex]  valables

Dernière modification par MOHAMED_AIT_LH (16-04-2011 00:09:07)

boubamane

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Re : Equation différentielle du premier ordre avec second membre

Bonsoir,
non j'avais aucun moyen pour prévoir le degré du polynôme solution particulière.
Et je sais pas comment le savoir !!!
C'est un bon moyen de savoir si on est dans le bon chemin. Alors je te serais très reconnaissant de m'éclaire là-dessus.
Merci à +

MOHAMED_AIT_LH

Invité

Re : Equation différentielle du premier ordre avec second membre

Bonsoir,
Ok.
Supposons que  [tex]y[/tex]   est  une  solution  polynomiale  de  degré [tex]n[/tex]  alors  [tex]y'[/tex]  de  degré  [tex]n-1[/tex].  Or   [tex]xy[/tex]  est  de  degré  [tex]n+1[/tex]
Il  en  résulte  que  [tex]y'-xy[/tex] de  degré  [tex]n+1[/tex], or   [tex]y-xy'=x^3[/tex] de  degré  [tex]3[/tex],  donc  [tex]n+1=3[/tex]  et  enfin [tex]n=2[/tex]

boubamane

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Re : Equation différentielle du premier ordre avec second membre

Bonsoir,
oui c'est clair maintenant !!! A l'avenir je saurais à quoi m'attendre.
Bon j'ai revu une partie du cours où il est indiqué que ma "solution générale cherchée est la somme des solutions particulière et générale sans second membre". Ce qui revient à dire que la solution particulière cherchée serait:
[tex]y(x)= K\times exp(\frac{x^2}{2}) -(x^2+2) [/tex] et remplaçant dans (1) je trouve [tex]x^3[/tex].
Bon je doute je sais pas si ça tient la route
Merci & bonne nuit.

MOHAMED_AIT_LH

Invité

Re : Equation différentielle du premier ordre avec second membre

Bonsoir(je suis encore réveillé !)

Il  suffit  de  bien  dire :

La solution générale de l'équation avec second membre est égale à la solution générale de l'equation homogène plus UNE solution  particlière de l'équation avec  second membre
Ce que tuas trouvé à  la  fin  est  donc  la  forme  générale  de toutes les solutions de l'équation compléte.

Pour  comprendre  plus imagine  que  tu  veux  tracer  dans  le  lan  un  droite (D)
Il  te  suffit  de  connaître  deuc  choses :
1ERE : une  droite passant  par  l'origine  et  parallèle à  (D)
2EME : un  point A  de  (D)

La  droite  passant  par  l'origine  joue le  rôle  de TOUTES  les  solutions de l'équation  homogéne (Homogène <-> passe par l'origine)
Le  point  A   joue  le rôle  d'une solution  particulière  (et  tu  ois  bien un  seul  point  suffit  et  n'importe  lquel  donne  le  même   résultat )

boubamane

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Re : Equation différentielle du premier ordre avec second membre

Bonsoir,
Ah c'est alors mon jour de chance? alors ça veut dire que c'est gagné je peux aller dormir sans me faire de souci?
Le problème est-il résolu?

Dernière modification par boubamane (16-04-2011 01:27:04)

MOHAMED_AIT_LH

Invité

Re : Equation différentielle du premier ordre avec second membre

Bonsoir

Oui ! certainement!
Cependant l'objetif visé ce  n'est  pas  ce  problème  en  lui même mais  un grand  nombre  de problèmes
liés  aux  équations  différentielles du  premier  ordre
N'hésite  pas d'en  travailler  encore et avise nous des tes séventuelles question
Vas dormir  tranquilement.
Bonne  nuit !

boubamane

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Re : Equation différentielle du premier ordre avec second membre

Bonjour à tous,
merci de votre aide. Je manquerais pas de revoir tous ça pour mieux comprendre.
Passer une bonne journée.
a+
boubamané

Dernière modification par boubamane (16-04-2011 08:38:58)