Forum de mathématiques - Bibm@th.net

mathieu64

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proba

Bonsoir,
j'avais posté un message mais je l 'ai effacé parce que j'ai compris que mon problème était moins avancé dans le cours. Bref ce qui me gene c'est la notion de vecteur aléatoire si j'ai bien compris alors si j'ai n variables aléatoires Xn toutes définies sur un espace A dans des espaces Ki alors  X=(X1,...,Xn) est definie du même espace A dans K1*K2*...*Kn mais du coup ca ne sert pas à modéliser plusieur lancé de dé? puisque j'ai l'impression que on evalue le vecteur pour le meme lancé de dé. donc quelle est la bonne notion pour des lancé de dé?
Merci d'avance

Groupoid Kid

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Re : proba

Bonsoir mathieu

Je suis loin d'être un expert en probabilités, mais comme tu as l'air un peu perdu je vais tâcher de te donner quelques éléments de départ.

Tout d'abord, lorsque tu réalises une expérience, l'expérience en elle-même est entièrement modélisée par l'espace probabilisé dans lequel tu travailles, et non les variables aléatoires (l'espace probabilisé contient tous les résultats possibles de l'expérience, avec pour chacun sa fréquence d'apparition). Ensuite, si tu veux connaître des informations (en général numériques : combien de fois ceci arrive-t-il, quelle quantité d'argent celà) sur le résultat de ton expérience, c'est là que les variables aléatoires rentrent en jeu.

Ici, si tu veux lancer disons N fois un dé à 6 faces, disons équilibré pour simplifier, ton espace probabilisé sera :
[tex](\Omega=\{1,\ldots,6\}^N,\mathcal{F}=P(\Omega),\mathbb{P}=\dfrac{1}{6^N}\text{ pour chaque série de N lancers})[/tex]
Des variables aléatoires qui peuvent t'intéresser sont alors : "Vn=valeur du n-ème lancer", ou bien "Xn=1 si le n-ème lancer vaut 6, et 0 sinon".
Avant de passer à l'infini, remarque que là seule chose qui t'intéresse vraiment ce sont les lois de tes variables aléatoires : le reste importe peu puisque tu ne t'intéresses qu'aux valeurs des variables. Ici par exemple :
[tex]\mathbb{P}[V_n=k]=\dfrac{1}{6},\ \mathbb{P}[X_n=1]=\dfrac{1}{6},\ \mathbb{P}[X_n=0]=\dfrac{5}{6}[/tex]

L'étape suivante est bien sûr de lancer une infinité de fois ([tex]\mathbb{N}[/tex] fois) le dé, i.e. [tex]\Omega=\{1,\ldots,6\}^{\mathbb{N}}[/tex]. Quelqu'un de plus aguerri que moi te dira sûrement ce que deviennent la tribu et la mesure ici, mais ce qui est sûr c'est que les lois des variables que j'ai données en exemple (et tout ce qui s'en rapproche) resteront les mêmes.

De mémoire pour tes questions précédentes : ce que dit la loi des grands nombres ici, c'est que mis à part pour quelques séries de tirages à la noix (du style qui se terminent par 6,6,6,6... jusqu'à l'infini), la nombre moyen de 6 parmi les N premiers tirages va tendre vers 1/6 quand tu feras tendre N vers l'infini (et ce pour presque chaque tirage).

Si tu fais des recherches sur le net, les termes de "Loi binômiale", "expérience de Bernoulli", "nombres normaux" devraient sans doute t'éclairer :)

GK, ou alors j'ai dit n'importe quoi et je partirai bientôt me cacher au fond des bois ^^

Dernière modification par Groupoid Kid (09-04-2011 19:48:30)

mathieu64

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Re : proba

Merci Groupoid, Je pense que j'avais à peu près compris ce que tu dis mais j'ai l'impression que mon gros problème c'est les abus de notation un peu tout le temps en proba ou faut s'habituer au début et aussi le fait qu'on ne parle pas très souvent  comme tu l' as dit de l'espace probabilisé de départ. En effet comme c'est nouveau pour moi les proba j'ai souvent besoin d' imaginer cet espace de proba de départ et je trouve que c'est pas toujours une mince affaire. Par exemple un théorème dit qu'il y a équivalence entre le fait que n variables aléatoires sont indépendantes si et seulement si ( c'est surement ce que j'ai confondu avec vecteur aléatoire) la variable X=(X1,...Xn) dont l'espace de depart est le même que l'espace de départ des Xi  a pour loi le produit des loi Pxi. La preuve donné me parait clair mais quand justement je pense à n lancé de dé dont les valeurs sont indépendantes, j'ai du mal à comprendre cet énoncé. Bon je crois qu'il va falloir battailler un peu pour mettre tout ça au clair, mais j'ai vraiment le sentiment que les abus de notations ne sont pas étrangé à la chose.
Que faut il comprendre quand on note P(X1 dans A ,X2 dans B) que X1 et X2 sont definit sur le meme espace de départ et que on cherche les élements de l'espace de départ qui vérifie ces 2 conditions, des fois j'ai l'impression que ça n'a rien à voir et du coup j'arrive pas à le traduire. Enfin quand on est dans un problème on utilise la mesure P et qu'on considere la loi d'un couple ou d'une loi marginale est ce que la mesure P varie suivant que c'est le couple ou la loi marginale.

Merci beaucoup pour les réponses fournit mais comme l'a dit groupoid je suis bien paumé. Cependant je suis convaincue qu'avec quelque éclaircissement je le reste du cour de proba sera bien compris.

freddy

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Re : proba

Holà, camarade,

ce n'est pas parce que tu ne comprends que c'est dû a des abus de notation !

Le sujet n'est pas simple et il est d'étude relativement récentes par rapport à d'autres branches des maths. Donc fait un peu d'effort, et tu verras que personnes n'abuse et que la matière est fascinante, autant que l'arithmétique.

Bon courage !

Groupoid Kid

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Re : proba

Erf, les probas c'est nouveau pour moi aussi, j'ai arrêté il y a bien des années quand j'étais en terminale, et à l'époque on n'y parlait pas encore de variables aléatoires. Il y a quelques heures de ça je ne savais même pas ce qu'était la loi forte des grands nombres ^^

Je pense que tu utilises trop de n ici et que tu t'emmêles les pinceaux ^^ Ne confonds pas les N répétitions de l'expérience, qui changent la totalité des données (espace probabilisé, mesure et tout le toutim), et tes n variables aléatoires. Lancer N D6 (l'un après l'autre), ça veut dire se placer dans un espace ou il existe au moins les [tex]6^N[/tex] états auxquels on pense. Lancer N D6 simultanément, si les dés sont indiscernables, ça change l'espace probabilisé : il y a moins d'états possibles (par exemple {3,5,1,3}={3,3,1,5}), mais les états ne sont plus équiprobables.
Un exemple de vecteur aléatoire avec N=1 tirage : le couple "(parité, reste modulo 3)". Ça revient à regarder simultanément les variables aléatoires "parité" et "reste modulo 3" du résultat, mais ça ne change en rien l'expérience.

Dans la preuve d'indépendance dont tu parles, ton problème étudié / espace probabilisé est fixé au départ (par exemple : [tex]\{1,\ldots,6\}^{\mathbb{N}}[/tex]), et c'est l'espace d'arrivée (mesuré ou juste mesurable) qui varie (n fois [tex]\mathbb{R}[/tex] ou 1 fois [tex]\mathbb{R}^n[/tex]). Le truc à garder en tête, c'est que changer l'espace d'arrivée ça compte pour du beurre : en fait à chaque variable aléatoire que tu définis tu peux changer l'espace d'arrivée, tandis que changer celui de départ est un changement radical, qui correspond à changer le problème étudié.

En ce qui concerne les lois marginales d'un vecteur, regarde par ici. Je ne connais pas cette terminologie, mais il me semble que c'est juste une façon concise de dire qu'on regarde la loi d'une des composantes du vecteur aléatoire. Les lois marginales se déduisent donc de la loi du vecteur, et on ne peut rien dire de plus a priori. Si les composantes sont indépendantes par contre, on peut reconstruire la loi du vecteur (?).

Enfin pour la notation, [tex]\mathbb{P}[X_1\in A,X_2\in B][/tex] désigne bien [tex]\mathbb{P}\big(X_1^{\ <-1>}(A)\cap X_2^{\ <-1>}(B)\big)[/tex]. Histoire de me clarifier l'esprit j'ai écrit un peu les choses...

Fixons-nous un problème (donc un [tex](\Omega,\mathcall{\Sigma},\mathbb{P})[/tex]), et étudions deux variables :
[tex]X_1:\Omega\to (E,\mathcal{E},\mu)[/tex]
[tex]X_2:\Omega\to (F,\mathcal{F},\nu)[/tex]
On définit alors une troisième variable, la variable "produit", à valeurs dans l'espace mesuré produit :
[tex]X_3=(X_1,X_2):\Omega\to (E\times F,\langle A\times B\ ;\ A,B\in\mathcal{E,F} \rangle,\mu\otimes\nu)[/tex]
(muni de la tribu engendrée par les produits et le cas échéant de la mesure produit, définie à base de : [tex]\mu\otimes\nu(A\times B)=\mu(A)\nu(B)[/tex])

La notation [tex]\mathbb{P}[X_1\in A,X_2\in B][/tex] est juste un raccourci pour [tex]\mathbb{P}[X_3\in A\times B][/tex]. Ça n'est pas plus abusé que de noter f(x,y) pour une fonction [tex]\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}[/tex] : on devrait noter f((x,y)).

J'espère que ça t'aidera, en tout cas ça moi m'a permis de me mettre un peu à la page xD

@ Freddy : les probas c'est le maaal, ça devrait être interdit ^^

mathieu64

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Re : proba

Merci bien pour ces precieux eclaircissement et mille escuse a freddy je dois avoué y avoir été fort avec nos amis probabiliste mais aujord'hui j'ai un peu morflé j'espere pouvoir mainenant gouter aux jois des pobas. J'ai compris que l'espace de depart pour mon lancé de dé est {1,2,3,4,5,6}^n et ca change la vie avant je me placé sur juste {1,2,3,4,5,6} d'ou mes croyance sur les abus de notation.
Encore merci.

chipp

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Re : proba

En fait les notations tu peux les comprendre en adoptant un esprit de logique

Si on considere un dé non pipé ( tu sais que un dé ca à 6 faces )

Donc tu sais que ton univers sera composé des elements allant de 1 à 6

Donc pour calculer ta proba d avoir un chiffre donné (en supposant qu il n y ait qu un seul lancé) alors tu obtients ton resultat en faisant:

tu divises simplement la probabilite d avoir le resultat souhaité par l ensemble de l univers (resultats possibles)

de plus si tu remarque tu vois que la probabilité d avoir un chiffre donné en lancant le dé (avec un seul lancé) est identique tu peux de ce fait affirmer que l emsemble des variables suivent une loi uniforme de  [tex]\frac{1 }{6}[/tex]

Apres si tu effectues plusieurs lancés la on entre dans une loi de probabilité (le plus souvent loi binomiale) mais ca tu le verras en cours toutes les lois ( et y en à pas mal)

Je vais te dire un petit secret les maths c est pas comme le vélo CA SE BOSSE! et malheureusement en maths si on s entraine pas on oublie très vite ce n est pas compliqué seulement faut un bon esprit de logique si tu vois les choses comme un emsemble au lieu de regarder chaque variable une par une (tu t emelera les pinceaux) c est pour ca qu il faut bosser des heures afin de t approprier les theoremes et regles de calculs

Avant je ne supportai pas les  maths j avais horreur mais maintenant je commence à apprecier bien que je n ai pas un niveau de fou mais ca me plait de jouer avec les systemes et les nombres passer 30min sur un calcul et le COMPRENDRE
un autre conseil ne te limite jamais juste aux exercices que tu vois en TD dans tes cours car tu crois comprendre (a force de refaire l exercice ca devient automatique) alors que au final tu comprends pas alors regarde ailleurs et par exemple quand tu fais te exercices note que le resultat final dans un coin de la feuille et essaie de derouler le calcul

voila j espere t avoir eclairé un peu

Dernière modification par chipp (10-04-2011 13:12:04)