Forum de mathématiques - Bibm@th.net

boubamane

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Exercice d'algèbre

Bonjour à tous,
mon sommeil a été interrompu car je suis pas arrivé à trouver un raisonnement pour  l'exercice que voici:
               
Exercice
Soient les fonctions [tex]f,\;g\;:\;\mathbb{R}\to \mathbb{R}[/tex] définies par :
[tex]\begin{cases}f(a) &= 1-|a-1|\\g(b)&=\begin{cases} b+1\;si\;b\geq 1\\-b-2\;si\;b < 1 \end{cases}\end{cases}[/tex]

1. f et g sont-elles des applications de [tex]\mathbb{R}[/tex] dans  [tex]\mathbb{R}[/tex] ; sont-elles injectives, surjectives ?
2. Déterminer, sans symbole de valeur absolue, les fonctions (g + f) et (g x f).

Si quelqu'un a une idée pour commencer j'aimerais bien la connaitre.
Merci a+

--------------------------------------------------------------------------------------------------
[Edit] by yoshi
Une image ne s'imposait pas (une image pour du texte ??), d'autant plus que sa taille était un peu excessive.
Je t'ai retapé le tout, sans passer par l'Editeur d'équations de Fred (donc, c'est possible !) : tu vas avoir là de quoi progresser dans la connaissance de LaTeX, si tu le souhaites. ;-)

Dernière modification par yoshi (09-04-2011 08:49:57)

yoshi

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Re : Exercice d'algèbre

Salut,

Pour ta 2e question, on voit bien que dans les 2 cas la "frontière" de changement des expressions de f et b en fonction de x est 1.
Avec un cas particulier pour x =1
Je commencerais par le traiter.
Après j'étudierais le cas
1. x < 1 
    Alors f(x) = 1-[-(x -1)]
            g(x) = -x-2

2. x > 1
    Alors f(x) = 1-(x - 1)
            g(x) = x + 1

A partir de là il doit t'être assez facile de trouver : [tex](f + g)(x)\;\text{et}\; (g \times f)(x)[/tex].
En ce qui concerne injection, surjection, il faut appliquer les définitions.
Ici des DS et des exemples de démo, des conseils :
http://www.faidherbe.org/~pcsimath/DNS/ … 5_0809.pdf.
Et encore, limpide :
http://www.bibmath.net/dico/index.php3? … ction.html

@+

boubamane

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Re : Exercice d'algèbre

Salut,
merci pour ces éclaircissement, c'est surtout la variable qui n'est pas la même ...
Mais j'ai une autre question. Pour éviter au maximum l'éditeur d'équation, que faire?
Il arrive souvent que le mien se plante. C 'est ce qui explique l'image à la place du texte.
Merci encore une fois et a+

yoshi

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Re : Exercice d'algèbre

Salut,

Que la variable ne soit pas la même, pour moi, ça ne rentre pas en ligne de compte, j'ai bien pensé que cela allait te gêner : j'ai également été surpris en première lecture...
Puis quand j'ai commencé à rédiger ma réponse c'est devenu d'un coup très clair...
Qu'est-ce que ça change à ton exercice si j'écris l'énoncé ainsi :
Exercice
Soient les fonctions [tex]f,\;g\;:\;\mathbb{R}\to \mathbb{R}[/tex] définies par :
[tex]\begin{cases}f(x) &= 1-|x-1|\\g(x)&=\begin{cases} x+1\;si\;x\geq 1\\-x-2\;si\;x < 1 \end{cases}\end{cases}[/tex]
Ce serait, au passage, plus rationnel...
Peu importe le nom que tu donnes à la variable quand tu définis une fonction, non ?

Quant à savoir ce que tu peux faire pour éviter les problèmes de plantage de l'Editeur d'Equations (je le signalerai à Fred, mais tâche de relever dans quelles circonstances), la réponse est simple :
[i]fais comme freddy, jpp ou moi et écris en LateX directement !...
Pour ça, tu dois lire attentivement cette page : Code LaTeX et tester...
D'accord ce n'est pas drôle au début, mais tu verras on s'y fait vite : il faut le vouloir.
Jpp s'est lancé et a obtenu un résultat satisfaisant en 3 jours !

Comment tester ?
Et bien tu ouvres une nouvelle discussion, tu tapes au moins un mot (une formule en début de post ne s'affiche pas), puis tu tapes des formules et tu cliques sur Prévisualisation pour voir ce que ça donne.
Tu corriges les erreurs... Il y en aura, c'est inévitable !
Si tu trouves pas l'erreur, demande !
Tes essais terminés, tu ne cliques pas sur Envoyer, tu fermes... C'est tout, pas de traces.

Courage.

@+

boubamane

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Re : Exercice d'algèbre

Merci, je vois que si x devient la variable ça ne change rien à l'exercice.
C'est clair je vais poster ma rédaction, après avoir lu la page que tu me proposes pour écrire en LaTeX.
a+

freddy

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Re : Exercice d'algèbre

Hello,
               
Exercice
Soient les fonctions [tex]f,\;g\;:\;\mathbb{R}\to \mathbb{R}[/tex] définies par :
[tex]\begin{cases}f(a) &= 1-|a-1|\\g(b)&=\begin{cases} b+1\;si\;b\geq 1\\-b-2\;si\;b < 1 \end{cases}\end{cases}[/tex]

1. f et g sont-elles des applications de [tex]\mathbb{R}[/tex] dans  [tex]\mathbb{R}[/tex] ; sont-elles injectives, surjectives ?
2. Déterminer, sans symbole de valeur absolue, les fonctions (g + f) et (g x f).

Piste
On voit vite que :

[tex] x \geq 1 \Rightarrow f(x)=2-x,\;g(x)=x+1,\;(f+g)(x)=3,\;(f\times g)(x)=(2-x)(1+x)[/tex]

[tex] x < 1 \Rightarrow f(x)=x,\;g(x)=-x-2,\;(f+g)(x)=-2,\;(f\times g)(x)=-x(2+x)[/tex]

Le reste se déduit presque tout seul, notamment :

[tex]f\left(\mathbb{R}\right)=]-\infty,1],\;g\left(\mathbb{R}\right)=]-3,+\infty[[/tex]

MOHAMED_AIT_LH

Invité

Re : Exercice d'algèbre

Bonjour (le matin n'est pas loin)!

Je signale à boubamane que pour ce qui est de  [tex]g[/tex] , un graphe  peut t'aider à bien  visualiser
son comportement.

Au  sujet  des équations , j'ai déjà parlé à Freddy d'une  variante que j'essaye d'nsérer dans un forum que je suis entrain de préparer  (encore en construction)
J'ai déjà inséré une tablette  de  symboles mathématiques (ne nécesiite point de java)
Vos avis me seront bien sûr utils là dessus.
Si jamais elle convient comme solution je n'hésiterai pas de donner à ce forum  tous les détails pour l'installer (il me  reste  des  retouches pour les dimensions et aussi des boutons  à  ajouter ...)

Dernière modification par MOHAMED_AIT_LH (11-04-2011 16:54:50)

boubamane

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Re : Exercice d'algèbre

Bonjour à tous,
après toutes vos contributions voici ce que j'ai retenu:
1°) on voit que [tex]f(x)\;est\;tel\;que[/tex] [tex]\begin{cases}f(1) &= 1\\f(x)&=\begin{cases} x\;si\; x\in]-\infty,1[\\-x+2\;si\,\,x \in]1,+\infty[\end{cases}\end{cases}[/tex]       [tex]et[/tex]       [tex]g\left(x\right)[/tex]=[tex]\begin{cases}{-x-2 \;si x\in]-\infty,1[\\\\\ x+1\;si x \in[1,+\infty[\end{cases}[/tex]

(Pour le point x=1 on a prolongé la fonction f par continuité car à première vu je l'ai pas définie en 1 et j'ai fait [tex]\lim_{x \to 1^-}f(x)=\lim_{x \to 1^+}f(x)=1.)[/tex]
Est-il possible de le faire ?

* Vérifions si f et g sont des applications de [tex]\;\mathbb{R}\to \mathbb{R}[/tex] :
- On a [tex]\forall \,x\,\in\mathbb{R}\,;f\left(x\right)\in\,]-\infty,1][/tex] :f n’est donc pas une application de [tex]\mathbb{R}\to \mathbb{R}[/tex]  mais plutôt une application de [tex]\mathbb{R}\to ]-\infty,1[[/tex].
- On a également On a [tex]\forall\,x\,\in\mathbb{R}\,;g\left(x\right)\in\,]-\infty,-3][/tex]: g n’est donc pas une application de [tex]\mathbb{R}\to \mathbb{R}[/tex]  mais plutôt une application de [tex]\;\mathbb{R}\to ]-\infty,-3][/tex].

* Vérifions si f et g sont surjectives :
-Par définition f est surjective si [tex]\forall y\,\in\,]-\infty,1] ;\,\exists\,x\,\in\mathbb{R}\,/\, f\left(x\right)=y [/tex]. Or f est une application de [tex]\mathbb{R}\to ]-\infty,1][/tex] donc si [tex]y\in\,]-\infty,1[[/tex] alors [tex]y[/tex] a nécessairement un antécédent par f . f est alors surjective.
-g est une application de [tex]\mathbb{R}\to ]-3,+\infty][/tex] donc si [tex]y\in\,]-\infty,1[[/tex] alors [tex]y[/tex] a nécessairement un antécédent par g . g est alors surjective.

* Vérifions si f et g sont injectives :
-Par définition f est injective si [tex]\forall (x,x')\in\mathbb{R}\;,\;x\neq x'\Rightarrow f(x)\neq f(x')[/tex].
Or [tex]si\;x\in]-\infty,1[,\;f\nearrow\;de\;-\infty\;à\;1[/tex] puis [tex]si\;x\in]1,+\infty[,\;f\searrow \;de\;1\;à\;-\infty[/tex] et on a [tex]f(0)=f(2)=0.[/tex] f n'est donc pas injective.
-Si [tex]si\;x\in]-\infty,1[,\;g\searrow\;de\;-\infty\;à\;1[/tex] puis [tex]si\;x\in]1,+\infty[,\;g\nearrow \;de\;2\;à\;+\infty[/tex] et on a [tex]f(2)=f(-5)=3.[/tex] g n'est donc pas non plus injective. 

2°) *[tex]Si\;x\;\in]-\infty,1[,\;(f+g)(x)=x-x-2=-2[/tex]
     *[tex]Si\;x\;\in[1,+\infty[,\;(f+g)(x)=-x+2+x+1=3.[/tex] Ce qui donne [tex](f+g)(x)\;=[/tex][tex]\;\begin{cases}{-2 \;si\;x\in]-\infty,1[\\\\\ 3\;si\;x\;\in[1,+\infty[\end{cases}[/tex]
     *[tex]Si\;x\;\in]-\infty,1[,\;(f\times g)(x)=x\times (-x-2)=-x^2-2x[/tex]
     *[tex]Si\;x\;\in[1,+\infty[,\;(f\times g)(x)=(-x+2)\times (x+1)=-x^2+x+2.[/tex]

Ce qui donne [tex](f\times g)(x)[/tex][tex]=\begin{cases}{-x^2-2x \;si\;x\in]-\infty,1[\\\\\ -x^2+x+2\;si\;x\;\in[1,+\infty[\end{cases}[/tex]

Ouff!!! Et j'attends votre avis par rapport au prolongement par continuité de f(x).

Merci à tous, votre aide à été décisive.

Dernière modification par boubamane (13-04-2011 12:26:59)

freddy

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Re : Exercice d'algèbre

Salut,

bien sûr que f est prolongeable par continuité.

Plus intéressant serait de montrer la non injectivité de f et g par un raisonnement du genre f(x)=f(y) => x différent de y en utilisant un contre exemple (10 comme image et x = 10, y=-8). J'ai peur que ta méthode soit un peu longue et chronophage.

yoshi

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Re : Exercice d'algèbre

Re

J'ai peur que ta méthode soit un peu longue et chronophage.

Tout à fait !
Dans l'optique de l'économie de moyens (on n'a jamais trop de temps), il doit être clair que dans le cas où on veut prouver que quelque chose est faux, il faut privilégier le contre-exemple !...

@+

boubamane

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Re : Exercice d'algèbre

Salut Freddy,
j'ai pas saisis !
Peux-tu être plus explicite s'il te plais.

thadrien

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Re : Exercice d'algèbre

Salut,

@boubamane : ce n'est pas parce qu'elles sont aussi des applications de R dans un intervalle restreint que f et g ne sont pas également des applications de R dans R.

Je crois que le but de la partie "montrer que ce sont des application" réside dans l'applications des définitions subtiles de "fonction" et "application". D'après Wikipedia :

"En mathématiques, une application est une relation entre deux ensembles pour laquelle chaque élément du premier (appelé ensemble de départ ou source) est relié à un unique élément du second (l’ensemble d'arrivée ou but). Le terme est concurrencé par celui de fonction, bien que ce dernier désigne parfois plus spécifiquement les applications entre ensembles de nombres ou englobe au contraire plus largement les relations pour lesquelles chaque élément de l'ensemble de départ est relié à au plus un élément de l'ensemble d'arrivée."

Concrètement, pour montrer que c'est une application de R dans R, tu dois dire que la fonction est définie pour tout R, et donc que c'est une application.

Néanmoins, ce point-là est vraiment "tordu" car il utilise une définition qui est loin d'être universelle : la plupart des cours de maths confond fonction et application, et définissent les deux comme étant une relation associant à tout élément de l'ensemble de départ un unique élément de l'ensemble d'arrivée.

Dernière modification par thadrien (12-04-2011 21:39:59)

freddy

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Re : Exercice d'algèbre

Salut Freddy,
j'ai pas saisis !
Peux-tu être plus explicite s'il te plait.

A quel sujet ?

le prolongement par continuité ou la non injectivité ?

freddy

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Re : Exercice d'algèbre

Re,

sinon, pour moi et dans l'esprit de l'exo, il faut montrer que f transporte E dans F=f[E]  pour pouvoir raisonner correctement.

On retrouve bien cette notion dans la bibmath, rubrique algèbre - application - injection.

Dernière modification par freddy (12-04-2011 22:04:40)

boubamane

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Re : Exercice d'algèbre

Salut,
merci je jette pas l'éponge je vais essayer de mettre tout ça dans l'ordre.  Je suis bien d'accord avec vous.
a+

Dernière modification par boubamane (12-04-2011 22:15:20)

MOHAMED_AIT_LH

Invité

Re : Exercice d'algèbre

Bonsoir

@Boubamane : consulte ta boite de gmail pour plus de détails (un pdf que je ne peux joindre ici)

Grosso modo on remarque des confusions  sur  la  notion d'application (tout est expliqué dans le pdf)

Pour  justifier que  f  n'est  pas  injective  tu  n'es  pas  obligé  d'expliquer
comment  tu  as  trouvé  le  contre-exemple : tu donnes  le  contre-exemple et  c'est fini
(Cependant c'est en  traçant un graphe par exemple que  tu  peux  arriver à  trouver
un  contre exemple)
La  surjectivité  :  puisque  le  graphe  t  a  informé  que  f(IR)=][tex]-\infty[/tex],1]
Il  suffit que  tu  prouves  par exemple que  2 n'a pas d'antécédant:
si x  es  un  antécédant de  2    alors  1-|x-1|=2 ce  qui  fait  |x-1|= -1  et  là  tu vois  que  c'est impossible

Même   chose  pour g  tu  as  trouv  à  l'aide  du  graphe que  g(IR)= ]-3, [tex]+\infty [/tex][
Tu  prouves que  -4  n'as  pas  d'antécédant
Si  x  est  un antécédant de  -4
1er  cas   [tex]x  \geq 1 [/tex]   alors  x+1=-4   et  alrs x=-5   or  x  [tex]\geq[/tex] 1 ....
2em cs  x < 1   alors   ....   tu  termines  toi même.

Dernière modification par MOHAMED_AIT_LH (13-04-2011 00:59:58)

boubamane

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Re : Exercice d'algèbre

Salut à tous,
merci de votre aide j'ai bien compris.
Bonne fin de soirée.
A+