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alucard_xs

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injection et parties d'ensemble, difficultés

Bonjour à tous,

j'ai des problèmes de raisonnement pour ce qui concerne les injections / surjections (j'y arrive un peu plus).
Exemple :

E est un esemble et A et B sont deux parties de E
on définit l'application
h: P(E) -> P(A).P(B)
    X    -> (X  A, X  B)

je n'arrive pas à montrer que si h est injective alors E est inclue dans (A U B) ...

je démarre par la définition d'une application injective mais après je bloque ...

Si vous pouvez m'aiguiller sans me donner la réponse ;)

merci

Fred

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Re : injection et parties d'ensemble, difficultés

Salut,

  J'imagine que tu parles de [tex]x\mapsto (X\cap A,X\cap B)[/tex] (le symbole intersection n'est pas visible sur ma machine).

On peut raisonner par contraposée. Si E n'est pas inclus dans [tex]A\cup B[/tex], alors soit x dans E qui n'est ni dans A, ni dans B.
Pose [tex]X=\{x\}[/tex]. Que vaut [tex]f(X)[/tex]? et [tex]f(\varnothing)[/tex]?

alucard_xs

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Re : injection et parties d'ensemble, difficultés

j'ai montré que E=A inter B assez simplement même, donc normalement c'est bon puisque que le signe = est une double inclusion.
Pour cela j'ai calculé h(A union B) et montré que c'était égal à (A,B) et puisque h(E)=(A,B) j'ai donc h(A union B)=h(E).
H étant injective, A union B = E.

Mon raisonnement est-il correct ?

Merci (et puis merci également pour ton aide)

Fred

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Re : injection et parties d'ensemble, difficultés

Oui, très bien.

alucard_xs

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Re : injection et parties d'ensemble, difficultés

cool merci ;)