Forum de mathématiques - Bibm@th.net

samo12

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fonction covexe

salut,
j'ai un problème :si f convexe alors la droite passant par les deux point (a,f(a)) et (b,f(b)) est au dessus de la courbe de f???c'est à dire f(x)=<(f(a)-f(b))/(b-a)(x-a)+f(a)???
merci de m'aider :)

Dernière modification par samo12 (03-04-2011 20:07:41)

Fred

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Re : fonction covexe

Salut,

  C'est la définition, non???
En effet, si t est dans [0,1], [tex]f(ta+(1-t)b)[/tex] représente l'ordonnée du point de la courbe d'abscisse ta+(1-t)b, et [tex]tf(a)+(1-t)f(b)[/tex] représente l'ordonnée du point de la corde de même abscisse.

Je te conseille vivement de faire un dessin!

Fred.

samo12

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Re : fonction covexe

Re,
mais dans certains exercice il me donne que f est convexe et dans la correction il montre que f(x)>=(f(a)-f(b))/(b-a)(x-a)+f(a)

samo12

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Re : fonction covexe

?
1. D’abord, si x ∈ [a, b], la courbe est au-dessus de la droite (propriété du cours sur les fonctions
convexes). Si x > b, on sait que pour une fonction convexe les taux d’accroissement sont
croissants. Dans notre cas, puisque a < b < x, on a :
f(b) − f(a)
b − a
≥
f(x) − f(a)
x − a
.
Ceci donne
f(x) ≥
f(b) − f(a)
b − a
× (x − a) + f(a).
La partie droite de l’inégalité est exactement l’ordonnée du point sur la droite d’abscisse x :
la courbe est au-dessus de la droite pour x > b. On démontre de même qu’elle est au-dessus
de la droite pour x < a.