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#1 01-04-2011 13:31:18
- samo12
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espace Lp
bonjour,
j'ai un exercice et merci de m'aider:
F(x)=(1/x)intégrale de 0 à x de f(t)dt
1)montre que pour tout x>0
(valeur absolue de intégrale entre 0 et x)²=<2racine carrée de x fois intégrale entre 0 et x de la racine carrée de t fois la valeur absolue au carrée de f(t)dt
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#2 01-04-2011 14:02:06
- Fred
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Re : espace Lp
Salut,
C'est à nouveau l'inégalité de Cauchy-Schwarz....(ou de Holder).
Je te laisse trouver comment faire apparaitre le produit (indication : regarde ce que tu veux à la fin, en l'écrivant comme une fonction le tout au carré!).
Fred.
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#4 01-04-2011 21:08:01
- Fred
- Administrateur
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- Messages : 7 352
Re : espace Lp
Re,
Sauf que tu n'as pas appliqué Cauchy-Schwarz comme il le faudrait pour cet exercice.
Regardes, tu as au départ [tex]f(t)[/tex] et tu veux obtenir à la fin [tex]\sqrt t |f(t)|^2[/tex]
Il s'agit donc d'écrire [tex]f(t)=g(t)h(t)[/tex] de sorte que lorsqu'on applique Cauchy-Schwarz,
on trouve pour une des deux fonctions, disons [tex]g^2(t)[/tex] ce qu'on veut, soit [tex]|f(t)|^2\sqrt t[/tex]
Fred.
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#10 04-04-2011 19:21:13
- samo12
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Re : espace Lp
salut,
alors j'ai obtenu [tex]\left\|F\right\|[/tex]2 [tex]\leq[/tex] [tex]\int^{x}_{0}[/tex] [tex]\int^{+\infty }_{0}[/tex]2 [tex]\sqrt{x}[/tex] [tex]\frac{1}{x²}[/tex] [tex]\sqrt{t}[/tex] [tex]{\left|f\left(t\right)\right|}^{²}_{}[/tex] dx dt
Dernière modification par samo12 (04-04-2011 19:29:25)
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#11 04-04-2011 20:21:50
- Fred
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Re : espace Lp
Il y a un problème lorsque tu permutes tes intégrales.
Tu ne peux pas avoir une première intégrale (par rapport à t), qui va de 0 à x,
car x n'est pas défini (il l'est dans l'intégrale).
Tu intègres sur tous les couples (x,t) qui vérifient [tex]0\leq x[/tex] et [tex]t\in[0,x][/tex].
Lorsqu'on permute les deux intégrales, c'est d'abord t qui vérifie, et t varie dans [tex][0,+\infty[[/tex].
Ensuite, x est supérieur ou égal à t, et donc x varie dans [tex][t,+\infty[[/tex]
L'inégalité que tu obtiens est donc
[tex]\|F\|^2\leq \int_0^{+\infty} \sqrt t |f(t)|^2 \left(\int_0^x 2\sqrt x\frac{1}{x^2}dx\right)dt.[/tex]
J'ai volontairement mis des parenthèses, car l'intégrale au milieu se calcule...
Tu devrais savoir terminer!
Fred.
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