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#1 31-03-2011 20:01:52
- samo12
- Membre
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- Messages : 236
espace Lp
salut,j'ai un problème dans un exercie,j'ai essayé mais je n'arrive à le résoudre merci de m'aider :))
ona f appartient à Lp(R)
g,h définies sur R avec g(t)=exp(t)f(exp(t)), h(t)=exp(-p't)fois l'indicatrice de [0,+l'infini] ouvert en plus l'infini et en 0
p' est l'exposant conjugué de p
la question:montrer que g appartient à Lp et que norme de g dans Lp est égale à la norme de f dans Lp
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#2 31-03-2011 20:44:00
- Roro
- Membre expert
- Inscription : 07-10-2007
- Messages : 1 801
Re : espace Lp
Bonsoir,
Il y a quelque chose qui me gêne dans ce que tu souhaites démontrer... regarde l'exemple du cas où f est la fonction caractéristique [tex]f = \chi_{(0,1)}[/tex] du segment (0,1).
Sa norme Lp vaut 1.
La fonction g vérifie [tex]g(t) = e^t \chi_{(-\infty,0)}(t)[/tex] et sa norme Lp ne vaut pas 1... (sauf pour p=1).
J'ai dû me tromper !
Roro.
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#6 31-03-2011 22:03:23
- samo12
- Membre
- Inscription : 31-03-2011
- Messages : 236
Re : espace Lp
Re,
j'ai une autre question:on prend les mêmes fonction g,het F(x)=1/x fois l'intégrale entre 0 et x de f(t)dt.(x>0)
a)montrer que F est bien définie sur 0,+l'infini
b)établir que g*h(x)=exp(x/p)F(exp(x)) produit de convolution
je rapelle que g(t)=exp(t)f(exp(t)) et h(t)=exp(-p't)fois indicatrice de 0,+infini..
Pour b) j'ai essayé et j'ai posé t=exp(x-y) mais après je suis bloquée je ne sais pas quoi faire
Dernière modification par samo12 (31-03-2011 22:08:36)
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#7 01-04-2011 07:32:14
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 352
Re : espace Lp
Bonjour,
Concernant ton premier message, à mon avis il y a deux erreurs ou oublis dans l'énoncé (ou dans ce que tu nous as dit de l'énoncé) :
1. La fonction f doit probablement être définie sur [0,+oo[ (si par exemple f est l'indicatrice de [-2,-1], alors g est identiquement nulle).
2. Sous l'hypothèse précédente, on doit sans doute avoir [tex]g(t)=\exp(t/p)[/tex], et alors un changement de variables fait l'affaire...
Pour ta dernière question, je vais m'abstenir de b) ne connaissant pas les vraies fonctions (vérifie aussi h!).
Pour a), tu dois prouver que
[tex]\int_0^x |f(t)|dt[/tex] converge. Ecris le sous la forme
[tex]\int_0^x |f(t)|\times 1 dt[/tex] et applique l'inégalité de Holder pour te ramener à la norme dans L^p.
Fred.
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#8 01-04-2011 09:11:46
- samo12
- Membre
- Inscription : 31-03-2011
- Messages : 236
Re : espace Lp
bonjour,
non il m'a donné que f est définie sur R et l'énoncé que j'ai donné je l'ai copié justement donc c'est une faute de frappe peut être je vais vérifié avec mon professeur merci.
pour a) j'ai apliqué Holder et j'ai cru que ce n'est pas juste :)
Dernière modification par samo12 (01-04-2011 09:18:21)
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