Forum de mathématiques - Bibm@th.net
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- Contributions : Récentes | Sans réponse
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#1 23-03-2011 02:33:53
- boubamane
- Membre
- Lieu : Sénégal
- Inscription : 19-03-2011
- Messages : 81
Espaces vectoriels
Bonjour à tous
Comme ces temps ci j’ai décidé de reprendre un peu les maths, après être resté huit ans, je me suis encore planté sur un exercice. Voici l’énoncé :
Montrer que les vecteurs {(1,1,1),(-1,1,0),(1,0,-1)} forment une base.
Calculer les coordonnées respectives des vecteurs (1,0,0), (1,0,1) et (0,0,1), sur cette base.
Voila j'ai vu que les 3 vecteurs sont linéairement indépendants donc forment une base. Mais j'arrive pas a exprimer les vecteurs (1,0,0), (1,0,1) et (0,0,1) sur cette base.Merci
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#2 23-03-2011 08:14:50
- yoshi
- Modo Ferox
- Inscription : 20-11-2005
- Messages : 17 385
Re : Espaces vectoriels
Salut boubamane,
Bienvenue sur BibMath...
Donc ta base est :
[tex]\vec u \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\quad\vec v \begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}\quad \vec w \begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}[/tex]
Et tu cherches les coordonnées (a ; b ; c) des vecteurs :
[tex]\vec i \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\quad\vec j \begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\quad \vec k \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}[/tex]
dans cette base.
Donc, tu dois chercher (exemple avec [tex]\vec i[/tex]) a, b, c tels que :
[tex]a.\vec u+b.\vec v+c.\vec w=\vec i[/tex]
Soit a, b, c tels que :
[tex]\begin{cases}\;\;\;a+b+c&=1\\-a+b&=0\\\;\;\;a\quad-c&=0\end{cases}[/tex]
J'ai trouvé :
[tex]\vec i\left(\frac 1 3\,;\;\frac 1 3\,;\,\frac 1 3\right)[/tex]
@+
[EDIT]
Je m'absente maintenant pour la journée...
Vous qui passez par là, prenez la suite si nécessaire.
Merci pour lui.
Dernière modification par yoshi (23-03-2011 09:57:47)
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#3 23-03-2011 10:41:45
- freddy
- Membre chevronné
- Lieu : Paris
- Inscription : 27-03-2009
- Messages : 7 457
Re : Espaces vectoriels
Salut,
et pour montrer que les 3 vecteurs forment une base il faut que tu montres qu'ils sont libres et générateurs.
Générateurs, Yoshi te l'a montré. Tout vecteur de R3 s'écrit comme combinaison linéaire des ces trois vecteurs.
Libre ? Il faut montrer que le vecteur nul s'écrit de manière unique comme une combinaisaon linéaire à coefficients tous nuls.
[tex]\vec u \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\quad\vec w \begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}\quad \vec w \begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}[/tex]
Et tu cherches les coordonnées (a ; b ; c) du vecteur nul :
[tex]\vec i \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\quad\vec j \begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\quad \vec k \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}[/tex]
avec ces trois vecteurs.
Donc, tu dois chercher a, b, c tels que :
[tex]a.\vec u+b.\vec v+c.\vec w=\vec 0[/tex]
Soit a, b, c tels que :
[tex]\begin{cases}\;\;\;a+b+c&=0\\-a+b&=0\\\;\;\;a\quad-c&=0\end{cases}[/tex]
Tu vois vite que [tex]a=c,\; b=a \;et\; 3a=0 \Rightarrow b=c=0[/tex]
Donc ils forment une famille libre et génératrice de R3 => c'est bien une base de R3.
Dernière modification par freddy (24-03-2011 08:29:09)
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#4 23-03-2011 11:06:50
Re : Espaces vectoriels
Salut,
@boubamane : comme il y a 3 vecteurs dans un espace de dimension 3, le fait que ce soit une famille libre implique que ce soit aussi une famille génératrice. Freddy l'a dit mais je préfère enfoncer le clou, car c'est un point qui revient souvent dans les demandes d'aide du forum de ma classe prépa.
Si le nombre de vecteurs est inférieur à la dimension de l'espace, alors, ce n'est même pas la peine de faire le calcul : ta famille ne peux pas être génératrice.
Si le nombre de vecteurs est supérieur à la dimension de l'espace, alors, ce n'est pas non plus la peine de faire le calcul : ta famille ne peux pas être libre.
Et quand le nombre de vecteurs est égal à la dimension de l'espace, alors, il y a équivalence entre (la famille est libre) et (la famille est génératrice).
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